x^2/(1+x^4)の不定積分

質問

∫x^2/(1+x^4)dxを解いてみたのですが、
まず、部分分数をして
x^4+1
=(x^4+2x^2+1)-2x^2
=(x^2+1)^2-(√2x)^2
=(x^2+√2x+1)(x^2-√2x+1)
x^2/(1+x^4)
=x^2/(x^4+1)
=(ax+b)/(x^2+√2x+1)+(cx+d)/(x^2-√2x+1)
分母を払って
x^2
=(ax+b)(x^2-√2x+1)+(cx+d)(x^2+√2x+1)
=(a+c)x^3+(-√2a+b+√2c+d)x^2+(a-√2b+c+√2d)x+b+d
恒等式なので
a+c=0,-√2a+b+√2c+d=1,(a-√2b+c+√2d)=0,b+d=0
a=-1/(2√2),b=0,c=1/(2√2),d=0

∫x^2/(1+x^4)dx
=-∫(1/(2√2)*x)/(x^2+√2x+1)dx+∫(1/(2√2)*x)/(x^2-√2x+1)dx

ここまで解きましたが、この先の積分がわかりません。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

x/(x^2+√2x+1) の不定積分の流れだけ:
分母を平方完成すると x^2+√2x+1 = (x+√2/2)^2+(√2/2)^2. だから
x/(x^2+√2x+1) = (x+√2/2)/[(x+√2/2)^2+(√2/2)^2] - (√2/2)/[(x+√2/2)^2+(√2/2)^2] として各項を積分してください.

お礼

参考になりました。
ありがとうございます。