ベクトルの問題４

質問

何度も投稿してしまってスイマセン(__;)

一辺の長さが１の正四面体OABCにおいて、OAベクトル＝aベクトル、OBベクトル＝bベクトル、OCベクトル＝cベクトルとする。
辺OAを3:4に内分する点をP、辺BCを4:3に内分する点をQとする。そのとき
(1)
　OPベクトル＝○aベクトル
　OQベクトル＝○bベクトル＋○cベクトル
である。
線分PQの中点をMとし、直線AMが三角形OBCの定める平面と交わる点をNとする。そのとき
　ANベクトル＝tAMベクトル
を満たす実数tの値を求めると
(2)
　t＝○
であり
(3)
　ONベクトル＝○bベクトル＋○cベクトル
である。すると
(4)
　|ONベクトル|＝○
である、また
(5)
　cos∠AON＝○
である。

(1)の問題は
　OPベクトル＝3/7aベクトル
　OQベクトル＝3/7bベクトル＋4/7cベクトル
と出せました。（違っていたら指摘してください）
が、それ以降の問題の解き方がわかりません。
同じような問題を何度も質問しているようで申し訳ないですが、回答していただけると嬉しいです。
解答までのヒントだけでいいですので教えてください。
お願いしますm(__)m

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

ーーー
vectorの問題は大きく言うと＜アファイン形とユークリッド形＞に分かれます。
（２）（３）は正四面体でなくても解けます。
（４）（５）は、一辺の長さが１の正四面体なる条件が必要です。
厳密ではないですが、＜距離、内積、角度＞が加わると、＜ユークリッド形＞

表記については＃３を参照。vectorと実数を区別して解読して下さい。
＞OPベクトル＝3/7aベクトル
＞OQベクトル＝3/7bベクトル＋4/7cベクトル　　ＯＫです。
＞解答までのヒントだけでいいですので教えてください。
ＨＩＮＴだけを出すのは無理ですので、若干の解答も含みます。
書き換えます。
ｐ＝（３/７）ａ
ｑ＝（３/７）ｂ＋（４/７）ｃ
ｍ＝（１/２）【（３/７）ａ＋（３/７）ｂ＋（４/７）ｃ】
＝（３/１４）ａ＋（３/１４）ｂ＋（４/１４）ｃ

（失敗に気が付きました、＃３のｍ、ｎは実数で今のｍ、ｎはvector）

＞ANベクトル＝tAMベクトル
vectorＡＮ＝ｔvectorＡＭ

vectorＡＮ
＝ｎ－ａ
　　ここが最大の隘路で　ｎ＝βｂ＋γｃ　（β、γは実数）・・（０）
＝－ａ＋βｂ＋γｃ・・・・・（１０）

ｔvectorＡＭ
＝ｔ（ｍ－ａ）
＝ｔ【（３/１４）ａ＋（３/１４）ｂ＋（４/１４）ｃ－ａ】
＝ｔ【（ー１１/１４）ａ＋（３/１４）ｂ＋（４/１４）ｃ】・・（２０）

（１０）（２０）を比較する。よくある技法です。
よく見るとａの係数からー１＝ｔ（ー１１/１４）でｔ＝１４/１１

ーーー本来（０）で終わるべきですが、もう少し

＞　ONベクトル＝○bベクトル＋○cベクトル　　
再び（１０）（２０）を比較する。
β＝（１４/１１）（３/１４）＝３/11
γ＝（１４/１１）（４/１４）＝４/11　　
ｎ＝（３/11）ｂ＋（４/11）ｃ

ーー後は、内積の知識が必要

＞|ONベクトル|＝○
|（３/11）ｂ＋（４/11）ｃ|＾２　を計算　各辺の長さ、角度より
当方の解は√３４/１１　？

ーーー
＞cos∠AON＝○
ａ・ｎ＝|ａ||ｎ|cos∠AON
cos∠AON＝ａ・ｎ/|ａ||ｎ|
　　ここでａ・ｎ＝ａ・【（３/11）ｂ＋（４/11）ｃ】＝
　　　　　|ａ||ｎ|＝
よってcos∠AON＝

ご連絡下されば補足します
ＳＥＥ　ＹＯＵ－－－

お礼

回答ありがとうございます。
|ONベクトル|とcos∠AONがまだ出せていませんが
もっとよく考えて自力で出して見ます。
丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

ーーー
解答の前に

平面では＜２vector利用が大半です＞
　　　言われないと意識できないことですので、書きます。

原点Ｏを基点とした、位置ベクトルをｂ、ｃとします。ｍ、ｎは実数。
また、位置ベクトル（動点）をｐ。各点は、Ｐ（ｐ）、Ｂ（ｂ）、Ｃ（ｃ）です。（ふつうは、Ｂ・ＣではなくＡ・Ｂで説明しますが、本問題との関連上です。）

１、ｐ＝ｍｂ＋ｎｃ　（ｍ、ｎ任意）　この意味が重要です。意味は、ｐはｂとｃに張られる全平面上の点です。（張る）というのはベクトルの数学用語で、ＯＢ軸とＯＣ軸がなす全平面上を動点Ｐが表す、です。　このことは余りにも自明であって逆に意識されません。　このことが、本問題の解決につながります。

２、ｐ＝ｍｂ＋ｎｃ　（ｍ＋ｎ＝１）　これは、直線ＢＣを意味しますが、１より意識される様です。また無意識に内分・外分につながります。

３、ｐ＝ｍｂ＋ｎｃ　（ｍ＋ｎ≦１、ｍ≧０、ｎ≧０）　これは△ＯＢＣの周及び内部の意味です。
４、ｐ＝ｍｂ＋ｎｃ　（２ｍ＋３ｎ＝１、ｍ≧０、ｎ≧０）
５、ｐ＝ｍｂ＋ｎｃ　（２ｍ＋３ｎ≦１、ｍ≧０、ｎ≧０）
６、ｐ＝ｍｂ＋ｎｃ　（１≦２ｍ＋３ｎ≦２、ｍ≧０、ｎ≧０）
２３４５６は本問題には関係しません。既に出会ったか、これから出会うか。

１’　空間では１を拡張してｐ＝ｌａ＋ｍｂ＋ｎｃ，　２’　ｐ＝ｌａ＋ｍｂ＋ｎｃ　（ｌ＋ｍ＋ｎ＝１）　これはＡ、Ｂ、Ｃを通る平面です。これも本問題には関連しませんが重要です。

なかなか本問題に入れません。これを書いて置かないと落ち着かない、という理由の他に、実は・・で誤読に気が付きました。(5)cos∠AON＝○ですね。∠AONと誤読してました。
ー続ー何か書いてる内に、他の回答者様が・・・－

回答No.2

kkkk2222

ーーー
ベクトルの問題（１）で 平面だけで２０種類と書きました。空間でも同様に２０種類になるはずですが、現実には難易度が高くなるのでかなり減ります。反面空間特有の問題が追加され、やはり２０種類となります。

しかし、これは旧課程の話であって、現行課程では種類は減ります。

しかし、しかし、大学側が＜旧課程・現行課程＞の区別ができていない、または区別が出来ていても＜発展問題＞として旧課程の問題がしばしば出題されます。

さて、今回の問題は当方が気に入っている問題です。
本質的な理解度を測るためには最適と思います。
現行課程でも、充分出題される可能性があります。

旧課程で空間が導入されたとき、この問題がＣＥＮＴＲＥ試験に出題される事を確信しておりました。

誠に遺憾ながら、この予想は見事にハズレ、知る限り出題されていません。
ーto be continuedーーー

回答No.1

ht1914

ＯＰとＯＱだけしか求まっていないというのは哀しいですね。それも

＞～と出せました。（違っていたら指摘してください）

と自信がないようです。これは今までの質問の範囲ですから出来て当然という書き方をして欲しいです。
その後も一歩でも二歩でも突っ込んで欲しいです。

＞それ以降の問題の解き方がわかりません。

ＯＭは分かるはずです。ＡＭも分かるはずです。難しくなるのはＮを決めるところからです。この問題はそれをｔという文字を使うことによって導こうとしています。前にｓとｔを使うというのがありました。場面は違いますが発想は似ています。

正４面体の図を書いていますか。立体的にイメージが取れますか。分からなければ正４面体を作ってみて下さい。要らない封筒を使うと簡単に作ることが出来ます。私は必ず図を書きます。幾何的に詰めていってイメージを取ってからベクトルとしてやります。

ＯＭ＝（ＯＰ＋ＯＱ）／２
ＯＭ＝ＯＡ＋ＡＭ　⇒　ＡＭ＝ＯＭ－ＯＡ
ＡＮ＝ｔＡＭ＝ＯＮ－ＯＡ
ＯＮ＝ｘＯＢ＋ｙＯＣ

最後の式がポイントでしょう。Ｎが△ＯＢＣを含む面内にあるということはＯＮがＯＢ、ＯＣで表されるということです。
はじめの３つの式でＯＮを表すとａ、ｂ、ｃを含んでいるはずです。そこからａが消える条件です。

ＯＢＣ

お礼

お気を悪くさせてしまって申し訳ないです。
理解力がないもので…。
もう一度考えてから出直してきます。
解答ありがとうございました。