漸化式a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+p

質問

漸化式
a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+p
を解きたいのです。pは定数とします。

p=0であれば、
a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-3]*a[n-2]*a[n-1]
=a[0]^2*a[1]^2*…*a[n-3]^2*a[n-2]^2
=a[0]^4*a[1]^4*…*a[n-3]^4
=…
=a[0]^2^(n-1)
と解けます。

p=2、またa[0]=3としたりすると、
a[n]=2^2^n +1
が解であることは代入すればわかります。

一般のp(定数)、初期値も一般に与えて、その漸化式は解けますでしょか。
一般解でなくても、pがなにか具体的な数のときの解でもいいです。よろしくお願いします。

回答No.6

zk43 · ベストアンサー

また思い出してちょっと見てみました。

p=1,a0=2としてエクセルでanを計算してみると、anは爆発的に増加
して、nが10を超えると計算できなくなってしまいますが、nが5を
過ぎるとlog(log(an))はほぼ直線になって、傾きがlog2になります。
なので、an=A^(2^n)+Bのような格好になるかと思います。

また、この漸化式はユークリッドの原論にある素数が無限にあること
の証明にあるものと似てるし、素数の逆数和が大体loglogの速さで
無限大に発散することとも関係してるのかも。
でも（２）のS[n]=1-1/P[n]からS[n]<1だから、anは素数に比べると
ものすごく少ないようだし、結局よくわからない・・・

そもそもこれ出典は何なんですか？

お礼

度重なるご回答感謝します。

a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+1

に関する問題の出典は、数研出版のStudyaid D.B. というソフトからです。それは、チャート式や４ステップ問題集からの問題の寄せ集めとおもいます。
さらに、その問題の源泉は、どこかの入試問題かもしれません。

a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+1
は解けないけど、逆数の和が計算できたり、素数が無限にあること
の証明にあるものと似ていますし、なにかがあるかもしれないですね。

いまのところ僕は何も知りませんが。

回答No.5

mazimekko3

a[n]=a[0]*a[1]*...*a[n-1]+p
a[n]=a[0]*a[1]*...*a[n-2]*(a[0]*a[1]*...*a[n-2]+p)+p
=a[0]^2*a[1]^2*a[2]^2*...*a[n-2]^2+p(a[0]*a[1]*...*a[n-2])+p
=(a[0]*a[1]*...*a[n-2])*a[n-1]+p

a[n]/a[n-1]=(a[0]*a[1]*...*a[n-2])+p/a[n-1]
a[n]/a[n-1]=a[n-1]-p+p/a[n-1]
a[n]=a[n-1]^2-p*a[n-1]+p

ですので
p=0ならa[n]=a[n-1]^2=a[0]^(2n)になりますが、
a[1]=a[0]ですので正しくないですね。
算出過程にn-2の項が含まれるためn<2ではマイナス側の数列が必要になりますが
マイナスが定義不能な型の数列なので発生した問題です。
よって
n>=2においてa[n]=a[n-1]^2-p*a[n-1]+p
a[1]=a[0]+p
となります。

代入してみると
a[2]=a[1]^2-p*a[1]+p
=(a[0]+p)^2-p(a[0]+p)+p
=a[0]^2+p*a[0]+p

a[3]=a[2]^2-p*a[2]+p
=(a[0]^2+p*a[0])^2-p(a[0]^2+p*a[0])+p
=a[0]^4+2p*a[0]^3+p(p-1)a[0]^2-p^2*a[0]+p

項数が膨れ上がって一般的には解けない模様です。
かのMathematicaでは計算してくれませんでした。

No3,4の方がp=4でやってますが
a[n]=(a[n-1]+A)(a[n-1]+B)
の形に因数分解できるpの特殊解だと思われます。

回答No.4

rabbit_cat

いくつか誤植があるので修正。
－－－ ここから －－－

＃２さんはフェルマー数を思い浮かべられたようですが、
私は、ぱっと見で、カオスの世界でよく知られているロジスティック写像
a[n] = A*a[n-1]*(1-a[n-1])
を思い浮かべました。
この漸化式は、A=4のときは、一般解
a[n] = sin( 2^n * arcsin(√A[0]) )
てやつが知られてます。

で、よく考えたら、問題の漸化式も
p=4のときは、0<=a[1]<=4とすれば、
ロジスティック写像(A=4)の場合と同様の変数変換で解くことができることがわかりました。
p=4のとき、与えられた漸化式は、n>=2で
a[n] = (a[n-1]-2)^2
となります。ここで、
a[n] = 2cos(b[n]) + 2
とおけば、
cos(b[n]) = 2cos(b[n-1])^2 - 1 = cos(2*b[n-1])
より、
b[n] = 2^(n-1)*b[1]
です。
したがって、
a[n] = 2cos(2^(n-1)*arccos(a[1]/2-1)) + 2
と解けます。
これはまさにカオス系そのものです。

ちなみに、＃１の
a[n] = a[n-1]^2 - p*a[n-1] + p
がなりたつのは、n>=2の場合だけでした。
というわけで、a[0]だけは特別扱いしないとだめみたいです。

お礼

ありがとうございます。フェルマー数やロジスティック写像（力学系）などという言葉が出てきておもしろいですね。

a_(n+1)=(a_nに関する２次多項式)型
の漸化式は、以前、考察したことがありますが、一般には解けないようです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2155909.html
一般にそれは、収束と発散の境界が興味の対象のようです。

ただ、ちょっと思い出せないのですが、一般的解法がなくても、

a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+p
（pはなにか具体的な数だったが失念）
のとき、
Σ[k=1～n]a[n]だったかΣ[k=1～n]1/a[n]だったか、または何かそのような和が具体的に求まったものを見たことがあります。

a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+pの形のままで、研究しても、なにかおもしろい性質があるかもしれないですね。

補足

お世話になります。ある参考書で、次の性質を証明する問題を見つけ出しました。質問で述べた漸化式のp=1のときも、おもしろい数列になりそうです。

P[n]=a[1]*…*a[n]
とおく。
a[n+1]=P[n]+1 , a[1]=2
という数列を考える。
このとき、
（１）a[n+1]=a[n]^2-a[n]+1
（２）S[n]=Σ[k=1～n]1/a[k]とおくと、S[n]=1-1/P[n]

回答No.3

rabbit_cat

＃２さんはフェルマー数を思い浮かべられたようですが、
私は、ぱっと見で、カオスの世界でよく知られているロジスティック写像
a[n] = A*a[n-1]*(1-a[n-1])
を思い浮かべました。
この漸化式は、A=4のときは、一般解
a[n] = sin(2^n*arcsin√x)
てやつが知られてます。

で、よく考えたら、問題の漸化式も
p=4のときは、0<=a[0]<=4とすれば、
ロジスティック写像(A=4)の場合と同様の変数変換で解くことができることがわかりました。
p=4のとき、与えられた漸化式は、n>=2で
a[n] = (a[n-1]-2)^2
となります。ここで、
a[n] = 2cos(b[n])+2
とおけば、
cos(b[n]) = 2cos(b[n-1])^2 - 1 = cos(2b[n-1])
より、
b[n] = 2^n*b[0]
です。
したがって、
a[n] = 2cos(2^(n-1)*arccos(a[1]/2-1))
と解けます。
これはまさにカオス系そのものです。

ちなみに、＃１の
a[n] = a[n-1]^2 - p*a[n-1] + p
がなりたつのは、n>=2の場合だけでした。
というわけで、a[0]だけは特別扱いしないとだめみたいです。

回答No.2

zk43

これは難しい。

これを見て思い出したのが、フェルマー数Fn=2^2^n+1に関する性質で、
Fn=F0・F1・F2…F(n-1)+2
というものです。
フェルマー数は奇数だから、FnとFiが1でない共通因子を持ったと
するとこれは奇数で、上の式の左辺は割り切るが、右辺は割り切ら
ない（余りが２）ことになるので矛盾となり、したがってフェルマ
ー数はどの２つも互いに素。つまり、どの項も異なる素因数から構成
されるので素数が無限にあることの証明になる。

たぶんanはフェルマー数のような形になると予想します。

答えになってなくてすみません・・・ちょっと興味をもったもので。
（他の方の回答も見てみたいと思います）

お礼

ありがとうございます。フェルマー数やロジスティック写像（力学系）などという言葉が出てきておもしろいですね。

a_(n+1)=(a_nに関する２次多項式)型
の漸化式は、以前、考察したことがありますが、一般には解けないようです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2155909.html
一般にそれは、収束と発散の境界が興味の対象のようです。

ただ、ちょっと思い出せないのですが、一般的解法がなくても、

a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+p
（pはなにか具体的な数だったが失念）
のとき、
Σ[k=1～n]a[n]だったかΣ[k=1～n]1/a[n]だったか、または何かそのような和が具体的に求まったものを見たことがあります。

a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+pの形のままで、研究しても、なにかおもしろい性質があるかもしれないですね。

補足

お世話になります。ある参考書で、次の性質を証明する問題を見つけ出しました。質問で述べた漸化式のp=1のときも、おもしろい数列になりそうです。

P[n]=a[1]*…*a[n]
とおく。
a[n+1]=P[n]+1 , a[1]=2
という数列を考える。
このとき、
（１）a[n+1]=a[n]^2-a[n]+1
（２）S[n]=Σ[k=1～n]1/a[k]とおくと、S[n]=1-1/P[n]

回答No.1

rabbit_cat

一般解は難しそうです。
a[0]*a[1]*…*a[n-1] = a[n-1]*(a[n-1]-p)
に着目すれば、与えられた漸化式は、
a[n] = a[n-1]^2 - p*a[n-1] + p
になりますが、これを一般的に解くのはおそらく不可能だと思われます。