二次元のtとnに関する漸化式

質問

二次元のtとnに関する漸化式

P(t,n)=P(t-1,n-1)/2 + P(t,n+1)/2 + a * (1/2)^(N-n+1)
初期条件：P(0,n)=0
境界条件：P(t,0)=0

は解けるでしょうか？お分かりの方はどうかご教授ください。よろしくお願いいたします

P(t,n)=P(t-1,n-1)/2 + P(t-1,n+1)/2 + a * (1/2)^(N-n+1)についても同様に教えていただければと思います。（左辺第二項のt→t-1となっています）

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＞P(t,1) =a * (1/2)^(N-n+1) * t

n=1ですから、
P(t,1)=a * (1/2)^N * t
ですね。

P(t,n+1)=2*P(t,n) - P(t-1,n-1) - 2a * (1/2)^(N-n+1)
P(t,1)=a * (1/2)^N * t

Q(t,n)=P(t,n)*2^N/a
とおけば、

Q(t,n+1)=2*Q(t,n) - Q(t-1,n-1) - 2^n
Q(t,1)=t
これから、Q(t,n)を計算すると、

Q(t,2)=2*Q(t,1)-Q(t-1,0)-2^2=2t-2
Q(t,3)=2*Q(t,2)-Q(t-1,1)-2^2=3t-7
Q(t,4)=2*Q(t,3)-Q(t-1,2)-2^3=4t-18
Q(t,5)=2*Q(t,4)-Q(t-1,3)-2^4=5t-42
Q(t,6)=2*Q(t,5)-Q(t-1,4)-2^5=6t-94
Q(t,7)=2*Q(t,6)-Q(t-1,5)-2^6=7t-205

なので、
Q(t,n)=n*t-A(n)
と予測できます。
A(n)はQ(t,n)の計算過程から、
A(n+1)=2*A(n)-A(n-1)-(n-1)+2^n
A(1)=0、A(2)=2
が成り立ちます。
A(n)の一般解は、B(n)=A(n+1)-A(n)と置くなどして計算すれば、
A(n)=2^(n+1)-n(n-1)(n-2)/6-2(n-1)-4
となります。

あとは、A(n),Q(t,n)を元に戻してやれば、P(t,n)が求まるはずです。

P(t,n)=P(t-1,n-1)/2 + P(t-1,n+1)/2 + a * (1/2)^(N-n+1)
の場合も確認していませんが同じような方法で計算できると思いますので御自分でどうぞ。
どうしても分からなければ、途中までの計算結果を添えて、新たに質問し直してください。

お礼

大変わかりやすいご回答ありがとうございます！
解決しました！またなにかありましたらよろしくお願いいたします。

このような二次元の漸化式のとき方を本で調べようと思ったのですがどのような本を参照すればいいのか見当もつきませんでした。どういったキーワードで調べればよいかご存知でしたら教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

nag0720

初期条件が足りないのでは？

P(t,n)=P(t-1,n-1)/2 + P(t,n+1)/2 + a * (1/2)^(N-n+1)
これを変形すると、
P(t,n+1)=2*P(t,n) - P(t-1,n-1) - 2a * (1/2)^(N-n+1)

P(t,2)を求めるには、P(t,1)とP(t-1,0)が必要です。
P(t,1)を求めるには、P(t,0)とP(t-1,-1)が必要です。

初期条件（境界条件）に、P(t,1)またはP(t,-1)も必要ではないですか。

補足

ご回答ありがとうございます！
たしかにこれだと足りないですね、すみません。境界条件は

P(t,1) =a * (1/2)^(N-n+1) * t

とします。引き続きよろしくお願いいたします。