• 締切済み
  • 困ってます

漸化式を作成

a[n] = (5 + 3^n*(4*n - 5))/2 を解にもつ漸化式を作成願います。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数102
  • ありがとう数0

みんなの回答

  • 回答No.3

a[n]=5/2+2n(3^n)-(5/2)(3^n)…(1) a[n+1]=5/2+6n(3^n)-(3/2)(3^n)…(2) a[n+2]=5/2+18n(3^n)+(27/2)(3^n)…(3) (2)の両辺に3をかけると 3a[n+1]=15/2+18n(3^n)-(9/2)(3^n) ↓これから(3)を引くと 3a[n+1]-a[n+2]=5-18(3^n)…(4) (1)の両辺に3をかけると 3a[n]=15/2+6n(3^n)-(15/2)(3^n) ↓これから(2)を引くと 3a[n]-a[n+1]=5-6(3^n) ↓両辺に3をかけると 9a[n]-3a[n+1]=15-18(3^n) ↓これから(4)を引くと 9a[n]-6a[n+1]+a[n+2]=10 ↓両辺に6a[n+1]-9a[n]を加えると a[n+2]=6a[n+1]-9a[n]+10…(5) ↓nをn-1で置き換えると a[n+1]=6a[n]-9a[n-1]+10 ↓これを(5)から引くと a[n+2]-a[n+1]=6a[n+1]-15a[n]+9a[n-1] ↓両辺にa[n+1]を加えると ∴ a[n+2]=7a[n+1]-15a[n]+9a[n-1]

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 漸化式a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+p

    漸化式 a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-1]+p を解きたいのです。pは定数とします。 p=0であれば、 a[n]=a[0]*a[1]*…*a[n-3]*a[n-2]*a[n-1] =a[0]^2*a[1]^2*…*a[n-3]^2*a[n-2]^2 =a[0]^4*a[1]^4*…*a[n-3]^4 =… =a[0]^2^(n-1) と解けます。 p=2、またa[0]=3としたりすると、 a[n]=2^2^n +1 が解であることは代入すればわかります。 一般のp(定数)、初期値も一般に与えて、その漸化式は解けますでしょか。 一般解でなくても、pがなにか具体的な数のときの解でもいいです。よろしくお願いします。

  • 以下の漸化式について

    以下の漸化式について x_n+3=3x_n+2-2x_n+1-x_n, n=0,1,...,6 この式の解集合Sの次元が3である.Sの1次元ベクトル空間への直和分解を1つ示せ. この問題がどうしても解けなくて困っています. そもそも漸化式の解集合の次元が3であるというところからよくわかりません. また直和分解の方法というところも文献等読んでも詳しく記載されていないのです. 誰か分かる方いらっしゃったらぜひとも教えて下さい.よろしくお願いします.

  • 3項間漸化式

    f(1)=2,f(2)=5 f(k+2)=2f(k+1)-f(k)の3項間漸化式からf(k)の一般項を求めるとき、 t^2=2t-1から、 t=1で重解であるから、 f(k+2)-f(k)=f(k+1)-f(k) となると思うのですが、 これは、初項3で、公差1の等差数列ということなのでしょうか? f(k+1)-f(k)=3・1^n-1=3ですが、ここからどのように考えたらいいでしょうか? よろしくお願いします。

  • 回答No.2

a[n]=(5+3^n(4n-5))/2…(0) a[n+1]-a[n] =[5+3^(n+1){4(n+1)-5}]/2-{5+3^n(4n-5)}/2 =3^n(4n+1) だから a[n+1]-a[n]=3^n(4n+1)…(1) ↓nをn+1に置き換えると a[n+2]-a[n+1]=3^(n+1)(4n+5)…(2) (1)のnをn-1に置き換えると a[n]-a[n-1]=3^(n-1)(4n-3)…(3) a[n+1]=b*a[n]+c*a[n-1]+d…(4) a[n+2]=b*a[n+1]+c*a[n]+d とすると a[n+2]-a[n+1]=b(a[n+1]-a[n])+c(a[n]-a[n-1]) これに(1),(2),(3)を代入すると 3^(n+1)(4n+5)=b*3^n(4n+1)+c*3^(n-1)(4n-3) 両辺を3^(n-1)で割ると 9(4n+5)=3b(4n+1)+c(4n-3) 36n+45=12bn+3b+4cn-3c 36n+45=4n(3b+c)+3(b-c) ↓両辺から36n+45を引いて左右を入れ替えると 4n(3b+c)-36n+3(b-c)-45=0 4n(3b+c-9)+3(b-c-15)=0…(5) ↓nをn+1で置き換えると 4(n+1)(3b+c-9)+3(b-c-15)=0 ↓これから(5)を引くと 4(3b+c-9)=0 ↓両辺を4で割ると 3b+c-9=0…(6) ↓これを(5)に代入すると 3(b-c-15)=0 ↓両辺を3で割ると b-c-15=0…(7) ↓これに(6)を加えると 4b-24=0 ↓両辺を4で割ると b-6=0 ↓両辺に6を加えると b=6…(8) ↓これを(7)に代入すると 6-c-15=0 -c-9=0 ↓両辺にcを加え左右を入れ替えると c=-9 ↓これと(8)を(4)に代入すると a[n+1]=6a[n]-9a[n-1]+d…(8) (0)のnをn+1で置き換えると a[n+1]=(5+3^(n+1)(4n-1))/2…(9) (0)のnをn-1で置き換えると a[n-1]=(5+3^(n-1)(4n-9))/2 ↓これと(0)と(9)を(8)に代入すると (5+3^(n+1)(4n-1))/2=6(5+3^n(4n-5))/2-9(5+3^(n-1)(4n-9))/2+d ↓両辺に2をかけると 5+3^(n+1)(4n-1)=-15+6*3^n(4n-5)-9*3^(n-1)(4n-9)+2d ↓両辺に15-3^(n-1)(36n+9)を加えると 20=2d ↓両辺を2で割り左右を入れ替えると d=10 ↓これを(8)に代入すると ∴ a[n+1]=6a[n]-9a[n-1]+10

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

a[n]=(5+3^n(4n-5))/2 a[n+1]-a[n] =[5+3^(n+1){4(n+1)-5}]/2-{5+3^n(4n-5)}/2 ={3^(n+1)(4n+4-5)-3^n(4n-5)}/2 =(3^n){3(4n-1)-4n+5}/2 =(3^n)(12n-3-4n+5)/2 =(3^n)(8n+2)/2 =(3^n)(4n+1) a[n+1]-a[n]=(3^n)(4n+1) ∴ a[n+1]=a[n]+(3^n)(4n+1)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 連続6項の漸化式

    P(n+6)={P(n+5)+P(n+4)+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)}/6 という連続する6項の漸化式の解き方がわかりません。 次のような連続2項の漸化式なら P(n+2)=a*P(n+1)+b*P(n) x^2=ax+b の解をα、βとして P(n+2)-αP(n+1)=β{P(n+1)-αP(n)} として、P(n+1)-P(n)=A(n)とでも置いて A(n+1)=βA(n) として解くことができます。 連続6項の時も同じようにxの6次方程式を解いて 計算することができるのでしょうか? よろしくお願いします。

  • 漸化式a(n+1)=p・a(n)+qの解き方

    お世話になっております。基本の漸化式について質問させて下さい。 教科書の基本例題を通して解説下さると有り難いです。 問「条件 A1=1、A(n+1)=3・A(n)+2 で定まる数列{An}の一般項を求めよ」 まず、漸化式についてA(n+1)=x、A(n)=x とおいて方程式x=3x+2 …(1)を立てる。 漸化式から(1)式を辺々引いて、A(n+1)-x=3{A(n)-x}…(2) (2)が成り立つことは、(1)の解x=-1を(2)に代入して展開すれば成り立つから、(1)(2)の意味はわかりました。 次に教科書の解では、A(n)-x=B(n)とおくとき、(2)式は、B(n+1)=3・B(n)…(3) と表せることが、唐突に書かれておりましてこの意味が中々解らずに困っておるのですが、色々探ってみたら (3)式が成り立つのは、与えられた漸化式から {An}=1,5,17,53,……であるから、{Bn}={An+1}=2,6,18,54,……であって、ここから例えば n=1のとき(2)式の左辺はA(2)-(-1)=A(2)+1=6。つまり{Bn}、(n=1,2,3……)に対して{B(n+1)}に等しいから、(3)式が成り立つということでしょうか。 また、この(回りくどい)質問が仮に正しいとして、この基本の漸化式を解く場合はいつもこの考え方(与えられた条件から元の数列の3~4項くらいは求めておく)で解くものでしょうか。 或いは上で書いた教科書の解のように、即座にB(n+1)=p・B(n)が成り立つものとして解くのでしょうか。 長ったらしい質問で申し訳ありませんが、もう少しで基本が掴めそうなので、駄目押しのご回答を下さい。宜しくお願いします。

  • 漸化式 A(t+1) = 2 A(t) (1 - A(t)) は解けない?

    漸化式 A(t+1) = 2 A(t) (1 - A(t)) は   「A(t) = f(t)」 といった形で解を書くことができないでしょうか? 例えば 2 B(t+1) = B(t) + 1 だと、   B(t) = (1/2)^t (B(0) - 1) + 1 のように、 B(t) = f(t) の形で解くことができますが・・・、A(t+1) = 2 A(t) (1 - A(t)) も単純そうな形をしているのですが、いろいろ考えたのですがよく分かりません。 (なお、この数列の収束先が 1/2 か-∞に発散というのはエクセルで確認していますし、図的には分かります)

  • 漸化式の解法を教えて下さい

    a[n+2]+a[n]=0     a1=0    a2=1 という漸化式の問題が解けなくて困っています。 特性方程式の解が虚数になることは分かったのですがそれ以降が全く進まない状況です。 分かる方居ましたら教えて頂けると嬉しいです。 よろしくお願いします。

  • だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

    中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

  • Z会の今まで見たこともない漸化式からある不思議な関連を発見

    とても不思議と僕は思っておりますので、ちょっと長くなりますが、どうかお付き合いください。 Z会の問題をヒントに、次のことを発見しました。 a[1]=1 , a[2]=4 a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 ⇔ a[n]<a[n+1] , a[1]=1 a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 という、漸化式の不思議な同値性です。 ちなみに、{a[n]}={1,4,11,29,76,199,521,…} (⇒)を示すのは比較的簡単です。見通しよくするために構成的に証明してみます。 t^2-3t+1=0の解をα,βとすると、α+β=3,αβ=1 a[n+2] - αa[n+1] = β(a[n+1] - αa[n]) よって、 a[n+1] - αa[n] = β^(n-1) (4 - α) 同様に、 a[n+1] - βa[n] = α^(n-1) (4 - β) これらをかけて、整理すると、 a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 また、a[n]<a[n+1]は数学的帰納法で示すことが出来ます。 しかし、反対方向の証明がわかりません。 数列の正体は、 a[n]={(1+√5)/2}{(3+√5)/2}^(n-1) + {(1-√5)/2}{(3-√5)/2}^(n-1) なので、それを仲介して大量の計算をすれば証明できるかもしれませんが、見通しよくありません。 a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 という漸化式の解空間は、2次元線形空間になります。つまり、二つの解の和も解だし、一つの解の実数倍も解だし、第一項と第二項が定まれば全部の項が定まるので2次元です。 a[1]=1 , a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 という2項間漸化式は、 a[n]の値からa[n+1]の値を求めるとき、2つに分岐しますが、それを適当に定めることによって、3項間線形漸化式に帰着されるのはなぜでしょうか? どのような構造があるのでしょうか? http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4936699.html で質問させていただいたことと関連して、背景が気になります。

  • 漸化式について

    続けて質問してしまってごめんなさい(><) もう一つ分からない事があるのですが、漸化式で(等差数列)の漸化式と(等比数列)の漸化式と(階差数列)の漸化式の使い分けが全く分かりません。特に(階差数列)の漸化式自体良く分からないので、その辺も詳しく説明お願いします。

  • 微分方程式との類似、漸化式a[n+1]+p*a[n]=Q(n)

    よく知られていますように、微分方程式と漸化式は似ています。 微分方程式 (dy/dx)+ay=Q(x) の一般解は、 y=e^(-ax) {∫e^(ax)Q(x)dx+C} となるようです。 http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/ を参照しました。 では、漸化式 a[n+1]+p*a[n]=Q(n) の一般解はどのように表されるのでしょうか? Q(n)が0や定数や一次関数のときは、高校数学でよく扱われる漸化式ですが、一般の関数(多項式とも限らない)のときはどのように表されるのでしょうか?

  • 漸化式における特性方程式

    はじめまして。 現在高校三年生で数学を勉強している文系です。 漸化式の分野で、「特性方程式」というものが出てきました。 参考書や検索して出たページ、過去の質問を参照しましたが、 途中までは理解できるものの、最後のところが理解できません。 というのは、 a_(n+1) = p(a_n) + q …(1) という漸化式が与えられた時、 a_(n+1) - α = β(a_n - α)…(2)  と変形できればこの数列は等比数列としてあらわすことができ、 a_nの一般項も求められる。 (2)を展開して係数比較をしていくと P=β , -αβ+α=q より αは x=px+q の解であることがわかる。 これを特性方程式と呼ぶ ここまでは理解できました。(もしおかしいところがあったら指摘してください) しかしその後の このαの解を(1)の漸化式の両辺から引くと… という個所から先が理解できません。 たしかに、(2)の a_(n+1) - α = β(a_n - α) という式でαに解を入れれば一般項を求められるのはわかりますが (1)の式 a_(n+1) = p(a_n) + q の両辺からαを引くと、 a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく なってしまいませんか? もしかしたらすごく単純なところを見逃しているのかもしれませんが、 この質問についての回答、よろしくお願いします。

  • 不定積分と漸化式

    In=∫1/(x^2+1)^n dx (n=0,1,2,・・・・) の漸化式を求めなさい。 という問題です。 解答のみしか分からず困っています。 【解】In+1=2n-1/2n *In + x/2n(x^2+1)^n (n≧1) どなたか、解説よろしくお願いします!!