ノルムについて。

質問

ユークリッドノルムと最大値ノルム(スープノルム)についてお聞きしたいことがあります。それぞれのノルムはどういったものなのでしょうか？また，２つのノルムの関係は何かあるのでしょうか？

回答No.2

noocyte

ノルムはベクトルの「長さ」を一般化した概念です．

ユークリッドノルムは，ユークリッド幾何学の距離に当たるもので，
ｎ次元ベクトル X＝(X1, X2, …, Xn) のユークリッドノルムは
∥X∥2 ＝ √(|X1|^2 ＋ |X2|^2 ＋ … ＋|Xn|^2)．

これを一般化して，上式の２乗をｐ乗に，√をｐ乗根にしたものを
ｐ－ノルムといいます．
∥X∥p ＝ (|X1|^p ＋ |X2|^p ＋ … ＋|Xn|^p) ^ (1/p)．

X1，X2，…，Xn のうち絶対値が最大のものを Xk1，Xk2，…，Xkm とし，
それらの絶対値を |Xk| と書くと，
∥X∥p ＝ ((|X1|/|Xk|)^p ＋ (|X2|/|Xk|)^p ＋ … ＋(|Xn|/|Xk|)^p) ^ (1/p) * |Xk|．

|Xki|/|Xk|＝1，それ以外の Xi についてはｐ→∞の極限を考えると |Xi|/|Xk| → 0 なので，
∥X∥p → m^(1/p) * |Xk| → |Xk| ＝ max(|X1|，|X2|，…，|Xn|)．

したがって最大値ノルム ∥X∥∞ ＝ max(|X1|，|X2|，…，|Xn|) は，
ｐ－ノルムでｐ→∞とした場合の極限になります．

ノルム (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0

補足

回答ありがとうございます。ここで申し訳ありませんがいくつか質問があります。
「X1，X2，…，Xn のうち絶対値が最大のものを Xk1，Xk2，…，Xkm とし，
それらの絶対値を |Xk| と書くと，
∥X∥p ＝ ((|X1|/|Xk|)^p ＋ (|X2|/|Xk|)^p ＋ … ＋(|Xn|/|Xk|)^p) ^ (1/p) * |Xk|．

|Xki|/|Xk|＝1，それ以外の Xi についてはｐ→∞の極限を考えると |Xi|/|Xk| → 0 なので，
∥X∥p → m^(1/p) * |Xk| → |Xk| ＝ max(|X1|，|X2|，…，|Xn|)．」
とありますが，
(1)「X1，X2，…，Xn のうち絶対値が最大のものを Xk1，Xk2，…，Xkm とし，それらの絶対値を |Xk| と書く」とあるのはどういうことなのでしょうか？X1，X2，…，Xnについて絶対値が最大なXkについてその絶対値を|Xk| と書くのでしょうか？？

(2)「∥X∥p ＝ ((|X1|/|Xk|)^p ＋ (|X2|/|Xk|)^p ＋ … ＋(|Xn|/|Xk|)^p) ^ (1/p) * |Xk|」についてなんですが，なぜこのような式が成り立つのでしょうか？漠然とした質問ですいません。

(3)「∥X∥p → m^(1/p) * |Xk| → |Xk| ＝ max(|X1|，|X2|，…，|Xn|)」についてなんですが，mというのは何を表しているのでしょうか？

以上なんですが質問ばかりで申し訳ありません。ノルムについては初心者なものでアドバイスよろしくお願いします。