ノルムについて。

質問

ユークリッドノルムと最大値ノルム(スープノルム)についてお聞きしたいことがあります。それぞれのノルムはどういったものなのでしょうか？また，２つのノルムの関係は何かあるのでしょうか？

回答No.1

alkantala

まず基本的なｎ次元ユークリッド空間 R^n の場合で。

各 p (=1,2,3,...,∞) と
R^n の点 x = (x_1, x_2, ... ,x_n) に対して、
p-ノルム |x|_p が
|x|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{1/p}
(|x_j| は通常の実数の絶対値)　
で定義されます。
2-ノルム ||_2 がユークリッドノルムです。

また最大値ノルム ||_∞ は
|x|_∞ = max{|x_j| ; 1 ≦ j ≦ n }
で定義されるノルムです。

ここで最大値ノルムの記号から気付かれたかもしれませんが、
最大値ノルムは p-ノルムの定義で p → ∞ としたもの
と解釈されます。
なのでユークリッドノルムと最大値ノルムには直接の関係は
ありませんが一応関係があると言えなくもありません。

p-ノルムが p が大きくなるにつれ最大値ノルムに近づく様は
p-ノルムによる原点を中心とした「円」
C_p : { x ; |x|_p = 1 }
が C_2 が通常の単位円で、pが大きくなるにつれ四角くなって
いくのを観察すれば視覚的に理解できるかと思います。
（最大値ノルム ||_∞による単位円は
　C_∞：{ x ; |x|_∞ = 1 }
　で原点中心の四角形です。）

sup-ノルムは無限次元の場合（数列空間, 関数空間等）
の場合に上記の max を sup で置き換えたノルムです。

有限次元ユークリッド空間では各p-ノルムにより定義される
位相を導入した位相空間は同相になるので、ノルムの違いは
あまり問題になりませんが, 無限次元になると同相でない
位相を生成するノルムが各種あって、設定している問題に
適当なノルムを選択して考える必要があります。