- ベストアンサー
ノルムについて。
ユークリッドノルムと最大値ノルム(スープノルム)についてお聞きしたいことがあります。それぞれのノルムはどういったものなのでしょうか?また,2つのノルムの関係は何かあるのでしょうか?
- みんなの回答 (7)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 制御工学における∞ノルムとユークリッドノルムの違い
現在制御工学について勉強している学生ですが、よく分からない事があるので質問をさせて頂きます。 「下図のような直結フィードバックシステムで、以下の3つの条件を満たすコントローラの比例ゲインKの最小値を求めよ」という問題について考えていまして、その3つの条件とは (1)フィードバックシステムが内部安定であること (2)入力が単位ステップで外乱がない(d=0)の時|e(∞)|<0.1 となる(e:偏差) (3)入力r=0として、||d||2<1のような全てのd(t)に対して||y||∞<0.1となる (※||d||2はdのユークリッドノルム、||y||∞はyの∞ノルムです) で、ブロック線図と各要素の伝達関数は ↓d r---o--C(s)--o--P(s)----y | | --------F(s)----- P(s)=1/(10s+1), C(s)=K, F(s)=1 です。 ここで質問です。 条件(3)で、出力yの∞ノルムは|y|の最大ゲインという事は理解しているのですが、外乱dのユークリッドノルムがこの場合何を意味しているのかが今一つ分かりません。 これも、外乱の最大ゲインの事なのでしょうか?もしそうだとすれば、何故出力の方は∞ノルムで表し、外乱はユークリッドノルムで表すのかが分かりません。 どなたか、教えて頂けませんでしょうか?
- ベストアンサー
- 科学
- 線形代数の問題です。
x=(x1,x2,x3)∈C^3 として、 xの最大値ノルムが1のとき、 xのユークリッドノルムの最大値を求めよ。 という問題が分からないです。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列のノルム
以下、xはn次元ベクトル、A=(a(i,j))はn×n行列とします。 ■||x||_2 = √{Σ_[j=1~n](x_j)^2} (ユークリッドノルム) ※x_jは、xの第j成分です。 このノルムを採用したとき、行列Aのノルムは以下のように定義することが出来る。 ・||A||_2 = MAX_[x]{||Ax||_2/||x||_2} この具体的な表現は以下で与えられる、らしいのですが…。 ・||A||_2 = MAX_[k]{√(μ_k)} (μ_kは、BをAの転置行列として、BAの固有値。) 本を読んでも、「簡単に導出できるので試みられたい。」とかしか書かれておらず、困っています。どうやって導出するのでしょうか?僕には簡単に導出できません。 また、 ■||x||_∞ = MAX_[k]{|x_k|} ※x_kは、ベクトルxの第k成分。 このノルムを採用したとき、行列Aのノルムを ・||A||_∞ = MAX_[x]{||Ax||_∞/||x||_∞} と定義できて、この具体的な表現は、 ・MAX_[i]{Σ_[j=1~n]|a(i,j)|} で与えられるらしいのですが、本を読んでも、これも証明が省かれています。 ||A||_1についてはきちんと証明が載っているのですが…。 どちらか片方ずつでも、おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同値なノルムについて教えてください><
同値なノルムについて教えてください>< 問題で考え方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか>< 問、ノルム||・||1において線形空間Xが完備ならば、||・||1に同値なノルム||・||2においても完備であ ることを示せ。 です。どう証明すればいいのでしょうか?「同値ならバナッハ空間の構造も同じ」と参考書に書いてあり、それならば||・||2においても完備なのは当たり前じゃないかと思ってしまうのですが・・・ ご指導のほう、よろしくお願いいたします!!
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列式のノルムの求め方について
行列式のノルムの求め方について 行列式の問題で、固有値→固有ベクトル→ノルムを順に求める問題なのですがノルムが求められません。 例えば固有ベクトルc1=[1;1]であれば√(c1^2+c1^2)=1になりc1=±1/√2になりますよね? これがc1=[2;1;1]のように3列の場合はどのように求めるのでしょうか? √(2c1^2+c1^2+c1^2)=1でc1=±1/√6になるんでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直交変換はノルムを保つ
教科書に 「線型変換 f について、f が直交変換であるための必要十分条件は f がノルムを保つことである」 という定理が載っているのですが、どうも理解できません。 教科書には簡単な証明が載っており、 「f が直交変換ならば、明らかに f はノルム(長さ)を保っている」と記載されています。 直交変換とは内積も保つような線型変換のことですよね? 内積を保つ = ノルム(長さ)を保つ ということが明らかとなる説明をどなたかお願いします。 私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の条件数とノルムについて
行列Aの条件数はAのノルムととA^(-1)のノルムの積で定義されるみたいなんですが、肝心の行列のノルムの定義が分かりません。 分かる方がいらっしゃったら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- ノルムは無限大にはならない?
こんにちは、題名の通りですが、例えばヒルベルト空間の元のノルムは無限大になることはないのでしょうか?当たり前すぎる事かもしれませんが、ふと疑問に思い、証明ができません。これが言えないと成り立たないことがたくさんあるのですが・・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。あのこの2つのノルム(特に最大値ノルム)の何かいい例はあるのでしょうか??まとまりのない質問ですいません。
補足
ありがとうございます。よくわかりましたm(_ _)m。もう1つ質問があるんですけど, m^(1/p) * |Xk| → |Xk| = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|). はどういうことを意味しているのでしょうか??"→"は何を意味しているのでしょうか??