無理関数の積分

質問

x/√{2-x-x^2}を積分するのですが答えと合いません。

√{2-x-x^2}=√{(x+2)(1-x)}=(1-x)√{(x+2)/(1-x)}
√{(x+2)/(1-x)}=tとおくと、
x=(t^2-2)/(t^2+1)、dx/dt=6t/(t^2+1)^2となります。
これを使って∫x/√{2-x-x^2}dxを書き換えると、
∫2(t^2-2)/(t^2+1)^2dtとなるはずなのですが、どうしてもなりません。どこかまちがいがあれば指摘してください。お願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

1-x=1-(t^2-2)/(t^2+1)=(t^2+1-t^2+2)/(t^2+1)=3/(t^2+1)だから、
(1-x)√{(x+2)/(1-x)}={3/(t^2+1)}*t=3t/(t^2+1)で、
x/[(1-x)√{(x+2)/(1-x)}]dx
={(t^2-2)/(t^2+1)}*{(t^2+1)/3t}*{6t/(t^2+1)^2}dt
=2(t^2-2)/(t^2+1)^2dt
となります。
xもdx/dtも間違っていません。それ以外は途中経過がわからないので
指摘できませんが、√{2-x-x^2}を入れるときに逆数にしなかったとか？

お礼

回答ありがとうございました。1-xが間違っていたみたいでした。