導関数

質問

(x)=x^2+x-2/x^3-1
から導関数f'を求めるには

商の微分公式を使用し
du/dx=2x+1
dv/dx=3x^2
dy/dx=((x^3-1)(2x+1)-(x^2+x-2)(3x^2)/(x^3-1)^2)

ここまでは出せるのです（既にここであっていないかも。自信無し。）

そこから何故答えが
f'(x)=－((x^2+4x+1)/(x^2+x+1)^2)

と（答えはあっている），こうなるのかの途中計算がわからないんです。
よろしくお願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

＞分子＝(x-1)(x^2+x+1)(2x+1)-3x^2(x-1)(x+2)
＞ここから↓になる過程
＞＝(x-1){(2x^3+3x^2+3x+1)-3x^3-6x^2}

　　まず、共通因数(x-1)をくくりだして、
　　(x-1){(x^2+x+1)(2x+1)-3x^2(x+2)}　　
　　そして、(x^2+x+1)(2x+1)を展開して、2x^3+2x^2+x^2+x+2x+1
　　から 2x^3+3x^2+3x+1 としたのと、-3x^2(x+2) を展開して-3x^3-6x^2
　　としたので、(x-1){(2x^3+3x^2+3x+1)-3x^3-6x^2}となります。
　　そして、{ }内を整理して(x-1)(-x^3-3x^2+3x+1)です。

　　そのあとの　x^3+3x^2-3x-1　の因数分解は、x=1のときこの式の
　　値が 0 になるので、この式は x-1 で割り切れる、という
　　因数定理から、(x^3+3x^2-3x-1)÷(x-1) の割り算を実行して商で
　　ある　x^2+4x+1 をみつけています。

　結果、＝-(x-1)^2(x^2+4x+1)/{(x-1)(x^2+x+1)}^2
　　　　＝-(x-1)^2(x^2+4x+1)/(x-1)^2(x^2+x+1)^2
　　　　＝-(x^2+4x+1)/(x^2+x+1)^2
　となります。

お礼

大変よくわかりました！！
色々遠回りして調べて自分なりに解いていましたが
もっと早く質問したら良かったと思ったくらいです。
また，この問題に限らず，数学の解き方も見えて来ました（本当に感謝です）。
２度も丁寧に解説してくださり，本当にありがとうございました。

回答No.1

debut

途中経過、あってますよ！

分子＝(x-1)(x^2+x+1)(2x+1)-3x^2(x-1)(x+2)
＝(x-1){(2x^3+3x^2+3x+1)-3x^3-6x^2}
＝(x-1)(-x^3-3x^2+3x+1)
＝-(x-1)(x^3+3x^2-3x-1)
＝-(x-1)(x-1)(x^2+4x+1)
と因数分解できます。
で、分母はx^3-1=(x-1)(x^2+x+1)ですから、(x-1)が２つ約分できます。

補足

早速お答え頂きましてありがとうございます。
流れがわかりました！と同時に私が因数分解を全然できないのもわかりました＾＾；
また質問なんですが

分子＝(x-1)(x^2+x+1)(2x+1)-3x^2(x-1)(x+2)
ここから↓になる過程
＝(x-1){(2x^3+3x^2+3x+1)-3x^3-6x^2}

そして
分母x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
これから分母分子の(x-1)が2つ約分すると答えと同じになる過程（因数分解）が
まだもう少しのところでわかりません。
良かったら，教えてください。