解析概論（高木貞治）の間違い

質問

以下、解析概論（高木貞治）からの引用です。

> "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> する．すなわちこの定義によれば
> 　　　　　　　　　　　　 dy＝f'(x)・△x.　　　　　　　(4)
> 今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'＝１だから、
> 　　　　　　　　　　　 dx＝△x.
> 故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．これを (4) に代入すれば、
> 　　　　　　　　　　　　dy＝f'(x)dx　　　　　　　　 (5)
> これを
> 　　　　　　　　　　　 dy/dx＝f'(x) 　　　 　　　(6)
> と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
> dy/dx は商としての意味を有する。"

以上のことは間違いだと思うのですが、どうでしょうか？

dx＝△x　が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
従って、〔 y＝f(x) が ＊(微分可能な)任意の函数＊である場合〕の
　　　　　　dy＝f'(x)・△x ----------------------- (4)
に、△x＝dx として代入することは許されない（！）。
もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
　　　　　　　　　　　　△x＝f'(x)・△x
　　　　　　　　　　　　∴　 f'(x)＝１
となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊である」という仮定に反し、不合理である。
よって、(4) でdy を定義してみたところで、それから dy/dx＝f'(x) が導けるわけではない。

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

別に間違っていないと思いますが。
質問者さんは混乱されているようです。
y=f(x)=xの場合は確かにf'(x)=1となり合っています。
べつに任意の関数に対してf’（x）＝１となるわけではありません。
　dy＝f'(x)・△x に、△x＝dx を代入することに疑問をもたれているようですが、y＝f（x）によらず、△x＝dxは成り立っています。
ｙ＝ｘを、dy＝f'(x)・△xに代入して△x＝dxが得られますが、
これは常に成り立っているので代入することに問題はありません。

回答No.4

kabaokaba

そもそも Δx は y=f(x) とは「無関係」なものですので
f(x) から離れて扱っても問題ないです．

========
名著中の名著なのは間違いないですが
古典なのでその分は割り引きましょう．
この文脈の意図は，微分「係数」という言葉の
直観的な理解が目的なんでしょうね．
＃Taylor展開まで理解すれば「係数」なのは
＃明確になるでしょう．

現代的な意味で，まじめに「微分」しようと思ったら，
接空間とか外微分とかそういうのをきっちりやらないと
すっきりはしないですし，そうなると微分幾何とか
多様体論の初歩になってしまいます

回答No.3

Tacosan

えっと....
昔ネットニュースで見たネタのような気が.... 次は Δx のネタかなぁ?
閑話休題.
少なくとも, 最後のところは「y = x の場合には」といって導いた結果のはず. つまり, そこでは「y = f(x) が任意の関数」という仮定はされていません. なぜ「y = f(x) は任意の関数」という仮定に反しちゃったかというと, 自分で y = x と限定しちゃったからです.

回答No.2

noname#26313

質問者は混乱されているようであるが、多少面倒であっても、
（4）式の dy＝f'(x)Δx　を
（4）dy＝{y＝f(x)の時の導関数であるf'(x)}・Δx　と書き、
dx＝△x　を
dx＝{y＝xの時の導関数である1}・△x　と書いてみると

dy＝{y＝f(x)の時の導関数であるf'(x)}・Δx
＝{y＝f(x)の時の導関数であるf'(x)}・dx/{y＝xの時の導関数である1}
＝[{y＝f(x)の時の導関数であるf'(x)}/{y＝xの時の導関数である1}]・dx
＝[f'(x)/1]・dx
＝f'(x)dx
となり、混乱を避けることができるのではないだろうか。