CLR直列回路について

質問

Ｅ［V］まで充電されたコンデンサＣに、コイルＬと抵抗Ｒを直列に接続した回路においてｔ秒後における抵抗Ｒの両端電圧を時間関数で表すとどういった式になるのでしょうか？まだまだ、電気初心者で分かりませんのでよろしくお願いします。

なお、各素子は理想的なものとし、回路図で書くとＬＲ直列回路の電源がＥ［Ｖ］まで充電されたコンデンサにといった具合になりますが、御理解していただけるかどうか不安ですが、よろしくお願いします。

回答No.7

foobar · ベストアンサー

若干補足
ＬｄＩ／ｄｔ＋ＲＩ＝Ｑ１／Ｃ　　（１）
の式も間違いじゃないです。
ただ、
ＬｄＩ／ｄｔ＋ＲＩ＋Ｑ２／Ｃ＝０　　（２）
って式立てたときと、コンデンサ電圧のとりかたが違う（Ｑ１とＱ２で向きが逆になってる）ことに注意する必要があります。

で、Ｑのとりかたが逆になってるので、
（１）のとりかただと、Ｉ＝－ｄＱ１／ｄｔ
（２）のとりかただと、Ｉ＝ｄＱ２／ｄｔ
と電流と電荷の関係が反対になります。

（でもって、きちんと式変形すれば、どちらもＱに関して、同じ形の式に落ち着きます）

電圧や電流の式を立てて、計算するときには、＃３でも書きましたが、各部の電圧や電流の向きをきちんと押さえておかないと、間違った式を導出してしまうことがあります。

回答No.6

ruto

>電圧降下がＬｄＩ／ｄｔとＲＩになると考えていたのですが
電源電圧Eがある場合は次式となり、
Ri＋L・di/dt+1/C・∫idt+E＝0
　E=0の時はE=0と置いて、微分方程式を解き、初期条件を代入し、解きます。
　だからQ/C＝・・・は間違ってると思います。

回答No.5

foobar

>充電されたコンデンサが電源となるため、キルヒホッフの第２法則より
>ＬｄＩ／ｄｔ＋ＲＩ＝Ｑ／Ｃ
>すなわち、起電力がＱ／Ｃ
回路図を書いて、その中に、
電流I
LdI/dtの電圧
RIの電圧
Q/Cの電圧(電荷)
がどの向きを正にとっているか、矢印で書いてみて下さい。

回路方程式(電圧方程式)が、
ＬｄＩ／ｄｔ＋ＲＩ＝Ｑ／Ｃ
となるように向きを決めると、
I=-dQ/dt になっている(電流はコンデンサから流れでる向きが正)と思います。

回答No.4

ruto

>微分方程式を教えていただけないでしょうか？

　Ri＋L・di/dt+1/C・∫idt＝0
　i＝dQ/dtなので
　R・dQ/dt+L・d^2Q/dt^2+Q/C＝0
　この微分方程式をq＝と解いて、初期条件、t＝0、Q0＝CEでQを求め、Qをtで微分して、iを求めてiRが答えです。

補足

早速の方程式を提示していただきありがとうございます。
＃3さんからも、指摘があったんですが、なぜ、+Q/Cになるのでしょうか？
充電されたコンデンサが電源となるため、キルヒホッフの第２法則より
ＬｄＩ／ｄｔ＋ＲＩ＝Ｑ／Ｃ
すなわち、起電力がＱ／Ｃ
各素子における電圧降下がＬｄＩ／ｄｔとＲＩになると考えていたのですが、根本的に考え方が間違っているのでしょうか？
御享受かたよろしくお願いします。

回答No.3

foobar

#2補足欄に関して
電荷の微分方程式で符号が間違ってる部分があるような、、。

回路方程式を作るときには、

回路の電流、コンデンサの電荷、コンデンサの電圧、抵抗の電圧、コイルの電圧
それぞれについて、きちんと、向きを決める(回路図の中に矢印で、どちら向きを正にとるかを記入する)必要があります。
(で、最初のうちは、一旦、それぞれの変数の関係を表す式(連立方程式になります)を建てて、それをまとめて微分方程式を導くようにしたほうが良いかと)

変数の向きをいい加減にしたままだと、最後の（微分)方程式で式の中の+/-がいい加減になってしまいます。

補足

回答ありがとうございます。
符号のまちがいというのは－Ｑ／Ｃというところでしょうか？
＃4さんの回答に対して補足を入れてます。
御指摘いただけるとありがたく思います。

回答No.2

ymmasayan

↓を参考にしてください。
これは逆に電圧が上がっていく方です。

減衰振動、臨界減衰、過減衰の３つは同じです。

参考URL：

http://www.akita-nct.jp/~yamamoto/lecture/2005/3E_Exp/html_1st_term/node10.html

補足

回答ありがとうございます。
私の提示した回路ですと、参考ＵＲＬの式2.11は

ＬｄＩ／ｄｔ＋ＲＩ＝Ｑ／Ｃ

式2.12は

（ｄ２／ｄｔ２）Ｑ＋Ｒ／Ｌ（ｄ／ｄｔ）Ｑ－Ｑ／ＬＣ＝０

となり、後はこの微分方程式を解くといいのでしょうか？

回答No.1

foobar

考え方としては、
1. 回路内の電流(厳密にはコンデンサの電荷で表す方が良いかも)を微分方程式で表し
2. 微分方程式を解いて、電流(電荷)の時間変化の式を求める。
で、この式には、任意の定数があるので、、
3. t=0の条件(回路電流=0,コンデンサの電圧 E)を入れて、定数を決定する
という手順になります。

具体的な式は、LCRの大きさによって違う(条件によっては減衰振動の式になりますし、条件によっては振動しない式になります)ので、、。

補足

早速の回答ありがとうございます。
考え方は、わかりました。2と3の過程もやり方はわかりました。しかし、肝心の１の電流を表す微分方程式が分かりません。
よろしければ、微分方程式を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。