量子力学の基礎的な質問

質問

２つ質問させてください。

１．波動関数Ψを考えます。　普通｜Ψ｜^2＝１となるように規格化すると、Ψの要素の一つをΨ_nとした場合、｜Ψ_n｜^2が確率としてでますよね。
もし、｜Ψ｜^4=1として規格化すると｜Ψ_n｜^4が確率になるんですか？

２．<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の場合（カッコ内は時間）、この式の解釈としては「Ψ(0)の波動関数は時刻ｔ秒後にФ(t)となる波動関数とその他なんらかの波動関数の重ね合わせである」
またはΨ(0)、Ф(t)に対する固有値をA,Bとすると「Aという固有値がｔ秒後にBという固有値に変化する可能性がある」ということでしょうか？

最近よくわからなくなってきてしまい質問しました。よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

> 普通｜Ψ｜^2＝１となるように規格化すると

(1)　　∫｜Ψ｜^2 dv ＝１
ですね．積分を忘れています．

(1)　　∫｜Ψ｜^4 dv ＝１
という規格化はあちこちぼろが出ると思います．
質問の意図は
(2)　　Ψ = a Ψ(1) + b Ψ(2)
のように波動関数を作ると(Ψ(1)，Ψ(2)，規格化直交波動関数，a,b は係数)
(3)　　∫｜Ψ｜^2 dv = |a|^2 + |b|^2
になるが，
(4)　　∫｜Ψ｜^4 dv = |a|^4 + |b|^4
となるか，ということでしょうか．
結論から言うと，そうはなりません．

(3)に(2)を代入すると，
(5)　　∫ |Ψ(1)|^2 dv
のタイプと
(6)　　∫ {Ψ(1)*} Ψ(2) dv
のタイプの積分が出てきます．
(5)は正規化で１，(6)は直交でゼロ．
このために(3)になるのです．
|Ψ|^4 ですと
(7)　　∫ {Ψ(1)*}^3 Ψ(2) dv
の類の積分がいろいろ出てきて，それらはゼロにはなりません．
したがって，(4)は成立しません．

後半です．
Φがハミルトニアン(時間に陽に依存しない)の固有状態なら，時間発展は
(8)　　Φ(t) = exp{(-2πi/h) Bt}
です．B はΦのΦ状態のエネルギー．
したがって，t=0 でΦとΨがちがうものなら，
(9)　　<Ψ|Φ(t)> = 0
のままです．
ΦとΨが同じものなら
(10)　　<Ψ|Φ(t)> = exp{(-2πi/h) Bt}
です．
ハミルトニアンが陽に時間に依存しなければ，エネルギーは保存されます．

一方，ハミルトニアンが時間に陽に依存すれば，エネルギーは保存されません．
ここらへんは，解析力学の対称性と保存量に関するネーターの定理のあたりの
話と同じです．

お礼

詳しいご回答ありがとうございます。
１は僕の考えがたりなかったです。
２はわかりやすく頭の整理ができたと思います。

回答No.1

Mell-Lily

規格化とは、波動関数Ψの”トータル”の確率を1にすることです。これは、単なる調整のための数学的な操作に過ぎません。また、実際の確率は、波動関数の絶対値の2乗に比例するのであって、4乗には比例しません。
ブラケット<a|b>は、状態bが状態aに終わる確率振幅を表します。ブラケットは、通常、右から左に読みます。よって、<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の意味は、Ψ(x)やФ(x)が時刻xの関数ならば、時刻tにおけるΦが、時刻0のΨに終わる確率振幅が0でない、つまり、この事象の起こる可能性はゼロではないということです。

お礼

どうもありがとうございました。
１の方は勘違いしてました。
２はわかりやすくためになりました。