[量子力学] 重ね合せの係数の求め方
- 量子力学の重ね合せにおける係数の求め方とは何でしょうか？
- 無限の井戸型ポテンシャルの問題において、特定の状態が観測される確率を求める方法はありますか？
- 複数の波動関数の重ね合せで表される波動関数の係数を求める方法について教えてください。
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[量子力学] 重ね合せの係数の求め方
お世話になります。 量子力学を勉強しています（初心者）。 ある波動関数 Ψ(x,t) が Ψ(x,t) ＝ c1 Ψ1(x,t) + c2 Ψ2(x,t) のように複数の(正規直交の)波動関数の重ね合せで表されるとき、 c1 と c2 を求めるにはどうすればよいのでしょうか。 具体的には、例えば、無限の井戸型ポテンシャルの問題では いろんな量子数 n の状態が重ね合わされているかと思いますが、 何らかの方法で観測したときに n＝2 が観測される確率を 求めるにはどうすればよいのでしょうか。 フーリエ級数なら、Ψ2 と Ψ の内積を計算すれば求まりますが、 今の場合Ψが不明なので内積が計算できないように思えます。 何か勘違いしているのかもしれません。 ご回答いただけると助かります。よろしくお願いします。
- supertat
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- 物理学
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質問者が選んだベストアンサー
繰り返しになりますが、Ψ が分からなければ、c1、c2といった係数は分かりません。例えば、局所的に粒子が存在するのであれば、正規分布のような波動関数になるでしょう（境界条件によって決まってくると思います）。その状態を観測したときにどのエネルギーが観測されるのかは、波動関数をエネルギー固有関数で展開したときの係数から計算できます。それはあなたが書いているとおりです。
その他の回答 (4)
- shiara
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Ψn＝√(2/L) sin (πnx / L)はわかりました。で、Ψはどうなっていますか。
お礼
Ψ関係の情報としては ・Ψ＝c1Ψ1＋c2Ψ2＋・・・（完全正規直交系の関数で展開） ・Ψ → 井戸内の量子状態を表す波動関数 ・Ψn → 量子数 n の状態を表す波動関数 ・|c1|^2＋|c2|^2＋・・・＝1 と書かれています。具体的な式は書かれていないです。
- shiara
- ベストアンサー率33% (85/251)
Ψが不明なら計算できません。Ψは別途与えられるもの、例えば、ある状態でのシュレーディンガー方程式を解いた時の解で、それを既に分かっている固有関数で展開した時の係数がc1とかc2です。
お礼
ご回答ありがとうございます。 > Ψが不明なら計算できません。 少し納得しました。補足に書いたことについてお返事いただけるとうれしいです。
補足
抽象的な質問から入ってしまったので意図が伝わりにくかったかもしれません。 申し訳ありません。 手元の教科書の無限ポテンシャルの解説で >「測定する前の量子状態はΨですが、測定すると量子状態Ψn が > 選ばれ量子状態 En という測定結果を得ます。 > その状態を見出す確率は|cn|^2 で与えられます。 とあったのですが、その |cn|^2 を求める方法が（他の本にも）書いてなかったので知りたくて質問しました。 解は Ψn＝√(2/L) sin (πnx / L) (0≦x≦L) とわかっているのですが、例えば |c2|^2 の値、つまりエネルギーの測定値がE2になる確率はわからないのでしょうか？
#1さんの仰った事を考慮の上で・・・。 最後には波動方程式を偏微分方程式として解く事になると思いますが、その際ふつうに変数分離などすれば、分離した時点でψnが決まり、境界条件からcnが決まると思います。
お礼
ご回答ありがとうございます。 #3 shiaraさんのご回答に補足を書きました。 > 境界条件からcnが決まると思います。 #3 shiaraさんのご回答に補足を書きました。 井戸型ポテンシャルでE2を観測する確率を計算することも できますでしょうか？できるとすればどうすればよいでしょうか？
- nananotanu
- ベストアンサー率31% (714/2263)
C1やc2は規格化直交条件で求めます。 大きな勘違いとして、量子数nはcやΨについた添字じゃありません。
お礼
ご回答ありがとうございます。 > C1やc2は規格化直交条件で求めます。 #3 shiaraさんのご回答に補足を書きました。 井戸型ポテンシャルでE2を観測する確率を計算することも できますでしょうか？できるとすればどうすればよいでしょうか？
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