• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

量子力学 同種粒子について質問です。

量子力学 同種粒子について質問です。 問題 1粒子のとる、異なる2つの軌道波動関数φa(r)とφb(r)が存在するとして、2個の同種粒子が、それぞれφaまたはφbの状態をとるときの2粒子波動関数を考える。フェルミオン2個の場合、ボソン2個の場合のそれぞれに対して、要請される対称性に言及し、可能な波動関数の形をすべて示せ。粒子1の位置をr1、粒子2の位置r2とせよ。各粒子のスピンについては、書くフェルミオンのスピンの大きさは1/2であり、粒子1の上向きスピン状態をα1、下向きスピン状態をβ1、粒子2についてはそれぞれα2,β2とせよ。各ボソンのスピンの大きさは0とせよ。波動関数の規格化はしなくてよい。 上の問題に関して、この問題は「フェルミオンは反対称」「ボソンは対称」ということだけで答えを導くことはできますか? 例えば2つの粒子が同じ軌道にあるときにフェルミオンの場合はパウリの原理より同じスピン状態になれませんよね?この事実を反対称ということから導出できますか? フェルミオンとボソンのに対する要請は反対称と対称ということだけだと理解しています。パウリの原理はそれから導かれる結果ですよね? できれば上の問題に対する解答を考え方とともに教えていただけないでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数513
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

>16個の波動関数がありますよね? フェルミオンの方はそうなります。 >16項からなる線形結合を考えないといけないのでしょうか? 一般的にはそういう形になりますが、式が煩雑になるだけなので、 独立なものを全て列挙すれば十分でしょう。 (独立なものの選び方は1通りではありませんので、答えの書き方も1通りではありません) 例えば、2p軌道の波動関数を全て答えろといわれたとき、 別にC_x p_x + C_y p_y + C_z p_zのような一般的な形を答えてもいいですが、 p_x,p_y,p_z の3つを答える(暗にこれらの線形結合だといっている)方が多くないでしょうか。 ※3つの軌道の選び方はこれでなくてもいいですが。 >その線形結合であるΦ1+Φ2も反対称な波動関数ですよね? はい。 >これも考慮しないといけないのでしょうか? 考慮はしなければいけませんが、 Φ1,Φ2,Φ1+Φ2の3つが独立でないのは明らかでしょうから、独立なものを列挙する際には考える必要はありません。 >スレーター行列式を考えてもいいですよね? >ボソンの場合はスレーター行列式の各項の符号をすべてプラスにしたものを はい。 >スレーター行列式を考える場合2行2列になるので上の例のΦ1+Φ2は含まれないことになります。 全ての2粒子波動関数がスレーター行列式で書ける訳ではありませんので、 Φ1+Φ2が出てこないからといって問題はありません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

パウリの排他律とのつながりを考えるのであれば、次のような考え方がいいでしょう。 1.(対称/反対称というのには拘らず)どういう2粒子波動関数があるかを考える。 2.それらの線型結合で、粒子の交換に関して反対称/対称なものを探す。 2個の粒子の軌道もスピンも同じ状態である場合に上記と同じことをやると、パウリの排他律が見えてきます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

>1.(対称/反対称というのには拘らず)どういう2粒子波動関数があるかを考える。 それぞれの粒子について軌道が2種類、スピンが2種類なので全部で2^4=16個の波動関数がありますよね? >2.それらの線型結合で、粒子の交換に関して反対称/対称なものを探す。 ということは16項からなる線形結合を考えないといけないのでしょうか? それと例えば Φ1(r1,r2,σ1,σ2)=φa(r1)α1φb(r2)α2-φb(r1)α1φb(r2)α2 Φ2(r1,r2,σ1,σ2)=φa(r1)α1φa(r2)β2-φa(r1)β1φa(r2)α2 の2つの波動関数は反対称ですが、その線形結合であるΦ1+Φ2も反対称な波動関数ですよね?これも考慮しないといけないのでしょうか? それとは別の解法として可能なスレーター行列式を考えてもいいですよね?ボソンの場合はスレーター行列式の各項の符号をすべてプラスにしたものを考えるという方法でもいいですよね?スレーター行列式を考える場合2行2列になるので上の例のΦ1+Φ2は含まれないことになります。どこが間違っているのでしょうか?

  • 回答No.1

対称とか反対称という言葉を使っていらっしゃいますが、 何がどう対称/反対称なのか(どういう操作について対称/反対称なのか)という事はご存知なのでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

もちろん知ってますよ。

関連するQ&A

  • スピンについて、対称、反対称。

    今スピンを考慮し関数を作っています。 その時粒子2と3の入れ替えに対し対称なΦsと反対称なΦsを考えています。 Φ=1/√2(↑↑↓+↑↓↑-2↓↑↑) Φ=1/√6(↑↑↓-↑↓↑) というのは作ることができるのですが、どちらが対称か反対称か判断できません。 反対称は入れ替えると-1,対象は+1になるとかはわかるのですが・・・。 教授はぽんぽん対称は、反対称はこれしかないと波動関数を予想してしまうのですが、自分はスピンを合成していき関数を立てることしかできません。 対称、反対称の波動関数の作り方を実際どうやって予想しているのかアドバイスお願いします。 入れ替えるというのは実際どういうことでしょうか。 詳しくお願い致しますm(__)m

  • 量子力学、教えてください(はぁと)

    円周上の粒子の波動関数の求め方教えてクレメンス。

  • 量子力学について

    束縛状態で波動関数の2乗したものを積分したら1になるように規格化するというのは波動関数の2乗を確率密度とするためだと思うのですが散乱状態で波動関数をデルタ関数で規格化するというのがよくわかりません。回答よろしくお願いします。

  • 量子力学の問題です。

    量子力学の問題です。 体積Vの領域内に閉じ込められた粒子の波動関数がAe^((i/h)p・r)で与えられている時、規格化条件からAの値を求めよ。 (波動関数の hはエイチバー  pとrは両方ともにベクトルです。入力の仕方が分からなくて上記のとおりに書いてしまいました。。。) 自分は物理を専攻している大学3年生です。そのレベルで分かるようにご説明していただけると幸いです。

  • ランダウ量子力学 第二量子化(ボーズ粒子の場合)

    小教程を読んでいるのですが… ボソンの系のN個粒子の波動関数 Ψ=(N_1!…/N!)^(1/2)ΣΨ_p1(ξ1)Ψ_p2(ξ2)…Ψ_pN(ξN) について、 f^(1)_a をa番目の粒子に関する物理量演算子とした上で、全ての粒子について対称な演算子F^(1)=Σf^(1)_a の行列要素の求め方がまったく載っていません。 <N_i, N_k-1 | F | N_i-1, N_k>=f _ik√NiNk として答えが載っていますが、 Ψ_1=(N_1!…N_i-1!/N!)^(1/2)ΣΨ_p1(ξ1)Ψ_p2(ξ2)…Ψ_pN(ξN) Ψ_2=(N_1!…N_k-1!/N!)^(1/2)ΣΨ_p1(ξ1)Ψ_p2(ξ2)…Ψ_pN(ξN) として ∫Ψ*_1FΨ_2 dξ を計算すればよいのでしょうか?? それでも、とても簡単とはいかなさそうなのですが… 指針やアドバイスだけで構わないので、どなたかご教授お願いできますか。 よろしくお願いします。

  • 量子力学・半導体に関する質問です

    量子物理学を勉強しています。 Semiconductor Opticsという文献を読んでいます。 その中の25.3.2.3Coherent Processesの中で 「スピンの位相緩和時間は波動関数のthe real space partの位相緩和時間よりもかなり長くなり得る」 とあったのですが、これはどういう現象なのでしょうか? できれば波動関数を用いて式で説明していただきたく思っています。 どうかお力添えお願い致します。

  • 物理化学、量子力学の問題

    院試の問題を解いていてどうしても手がつけられない問題があったので質問します。それぞれの相違点を明確に教えて頂けるとありがたいです。 水素原子、水素分子の電子状態に関する下記の事項について説明せよ。解答にあたっては各自必要な記号などを定義してよい。 1)水素原子に関するシュレーディンガー方程式 2)基底状態にある水素原子の波動関数 3)励起状態にある水素原子の波動関数の分布 4)水素分子に関するシュレーディンガー方程式 5)原子価結合法による水素分子の波動関数 6)分子軌道法による水素分子の波動関数 です。よろしくお願いします。

  • 量子力学の問題です

    壁に手をあててすり抜ける確率を求めよという問題なのですがどのようにすればよいでしょうか? 1、壁や手などの物理量は簡単なものに設定する。 2、手を構成する粒子の波束を考える。 3、それが壁のポテンシャルを通過する波動関数を求める といったイメージで解こうと思ってるんですがうまくいかないです誰か教えてください。 お願いします。

  • 量子力学の問題

    -L/2<=x<=L/2 (L>0)における質量mの自由粒子の量子力学的運動を考える。 波動関数は周期的境界条件を満たすとする。 運動量の間隔dpの中にある運動量の固有状態の数はほぼいくらになるか? ただし、Lは十分大きく、したがってdp>>2π(h/(2πL))であるとする。 この問題が良くわかりません。Lが十分大きいのだから固有状態は連続スペクトルになると思うのですが、固有状態の数はどのようにもとめたら良いのでしょうか?どなたかよろしくお願いします。

  • 二体の波動関数から電荷密度を求めるには?

    量子力学の波動関数から電荷密度を求めるには、一粒子であれば、 q・|φ(x)|^2 ですが、二体の波動関数の場合はφ(x_1,x_2)どうなのでしょうか? 考え出したらわけがわからなくなってしまい困っています。 ボソンとフェルミオンの場合で違うのか、単にスレータ行列式を 一方の粒子の座標だけで、 ∫q・|φ(x_1,x_2)|^2 dx_2 のように積分するのか、 混乱してしまい、はまってしまっております。よろしく お願いいたします。 具体的には、たとえば、調和ポテンシャルあるいは井戸型 ポテンシャルに相互作用の無い二つのフェルミオンあるいは ボソンを投げ入れたときの問題です。 平面波展開で数表示にしてフーリエ変換するのが正しい のでしょうか。