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量子力学について
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例えば内積空間で基底を考える時には正規直交基底を選ぶ事が多いですが、これは単に計算が楽になったり分かりやすくなるからであって、正規直交基底を選ばなければならない理由がある訳ではありませんよね。 ご質問の規格化も話は一緒です。 連続固有値を持つような場合にデルタ関数を使って規格化する事は、 (正規直交でない)基底から正規直交基底を求めるような事に相当していて、 こうする事で後の計算が楽になる(場合がある)からこのように規格化する事が多いというだけの話です。 このように規格化しなければいけないという決まりはありませんし、貴方が期待しているであろう物理的な理由は何もありません。 ついでに言えば、束縛状態の方も同じ理由です。 「波動関数の絶対値の2乗が(絶対)確率密度になっている事」は正規直交基底を選ぶメリットの１つに過ぎないかと。そもそも「波動関数の絶対値の2乗が(絶対)確率密度になるように」という理解だと、波動関数が登場しない場合(スピン系など)にどう規格化すればいいのか分からなるので、あまり良くない理解のような気がします。
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