流体力学でわからないことが

質問

こんばんは、ヤフー掲示板にも同様の質問をしています。
重複質問をお許しください。

日野幹雄著　流体力学　の中で、
ラグランジュ微分について書かれている部分でわからないことがあります。

以下に書かれている内容と、疑問点を書きますので、御教授願います。

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p33より、

ラグランジュ流を考えて、
時刻tにおける流体粒子の位置を（座標x, y, zと区別するために大文字を用いて）X(t), Y(t), Z(t)と表すと、
一つの流体粒子の持つ特性量f（密度など）の時間変化は、数学的に、

d/dt { f (X(t), Y(t), Z(t), t) } = (∂f/∂t) + (∂f/∂X) (dX/dt) + (∂f/∂Y) (dY/dt) + (∂f/∂Z) (dZ/dt)

と表される。ところが、流体粒子の位置の時間変化は
その点 X(t)=(x, y, z, t)での流速
（このX(t)は、位置を表すベクトルと思います。ボールドで書いてあるので・・・）

dX/dt=u(x, y, z, t)
dY/dt=v(x, y, z, t)
dZ/dt=w(x, y, z, t)

であり・・・
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疑問点は以下の通りです。

最初、時刻tにおける流体粒子の位置をX(t), Y(t), Z(t)と示していますが、
それを時間微分したときに得られる各成分の速度は、
なぜx, y, zなどの位置の関数となるのでしょうか？
時刻tのみの関数とならない理由が分りません。

基本的なことかと思いますが、おしえてください。

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

>日野幹雄著　流体力学
この本は持っていないので記号の意味がどのように書かれているのか分かりませんが、
＞dX/dt=u(x, y, z, t)　　　　(1)
＞dY/dt=v(x, y, z, t)　　　　　
＞dZ/dt=w(x, y, z, t)
の右辺は単にx,y,z,などの位置関数という意味だけでなく、固定座標(x,y,z)から見た場合の点(x,y,z)、時刻tに於ける流体の速度のx,y,ｚ成分を意味しているのではないでしょうか。
Lagrageの流体を扱う方法は粒子的な立場をとります。つまり、ある時刻ｔに点Aにあった流体の小部分（流体粒子）に注目し、その流体粒子の動きを追いかけていく立場をとります。点Aにあった物質の座標をξとするとこれは時間の関数ですから
　ξ(t)=ξ(X(t),Y(t),Z(t))とかけます（ξはベクトル量）。
時刻dt後に流体粒子が点Bに移動したとし、その位置をξ(t+dt)=ξ(X(t+dt),Y(t+dt),Z(t+dt))とするとξ(t+dt)とξ(t)の差はdtに比例すると考えられます。したがってLagrangeの立場での流体の速度は　
　(ξ(t+dt)-ξ(t))/dt　(2)
となります。
一方、座標系を固定しておいて、いつ、どこの点を、流体がどのような速さで走っているかを記述巣する立場がEulerの方法と言われます。この立場からすると流速をζとすれば
　ζ=ζ(u,v,w)　(3)
流速はどちらの立場で見ても当然一致しますから(2)の各成分は(3)の各成分と等しい。これがElectricGamoさんの言われている
＞「流体粒子に乗っている立場から見た速度」と「ある固定座標から見た際の流体粒子の位置における流れの速度」が等しいことを示しています。
ということと思います。尚、この辺りの議論は今井功著「流体力学(前編）」物理学選書14（裳華房）に詳しく書かれていますので一度図書館でご覧になられてはいかがでしょうか。