違うやり方で・・・

質問

∠BAC=45°の△ABCがある。AからBCに垂線を下ろし、その足をHとする。BH＝２、HC＝３のとき、AHの長さを求めよ。

この問題を方眼用紙を使わずに解く方法を教えてください。

回答No.9

hinebot · ベストアンサー

#7(#5)様へ

実際に仰るように図を書いてみて、取り違えられてるのでは？と勘違いしました。（原因は、図を書いた時点で、Ｏの位置を間違えたことによります）
不快感を与えたことをお詫びいたします。
しかし、∠ＯＢＨ＝４５°というのはどこから導かれたものでしょうか？

#8様へ
>４点OICHは同一円周上にあるのでBH*BC=BO*BI
これは、同一円周上にあるというより、
△BCI∽△BOH （∵∠OBH=∠CBI[同じもの],∠BHO=∠BIC=90°）
より、相似比から　BO:BC = BH:BI　⇒　BH*BC=BO*BI
とした方が分かりやすいですね。

>#3さんの方法で、余弦定理でルートをはずすために二乗とありますが、そのあたりの計算を詳しく説明していただけないでしょうか。

AH=a　とおくと三平方の定理より
AB = √(a^2+4), AC=√(a^2+9)
[ここまでは#8の回答と同じ]

△ABC に余弦定理
BC^2 = AB^2+AC^2-2AB*AC*cosＡ
を適用すると
5^2 =(a^2+4)+(a^2+9)-2√{(a^2+4)(a^2+9)}cos45°

cos45°=√2/2　より、整理すると
√{2(a^2+4)(a^2+9)} =2a^2-12=2(a^2-6)
両辺を2乗する(#)
2(a^2+4)(a^2+9) = 4(a^2-6)^2
a^2 = t とおくと（当然t＞0であり、a＞0であることに注意して）
2(t+4)(t+9)=4(t-6)^2
t^2+13t+36 =2(t^2-12t+36)
t^2-37t+36=(t-1)(t-36)=0
∴ t=1 or 36 （t＞0 は満たす）
よって、a＞0 より a=1 or 6
ここで「45°だけでなく、135°のものも混じりますので」を検証します。
(#)で2乗した時点で cos135°= -√2/2 の場合も混じる訳です。
∠BAC=45°なので、AH＞BH である必要があるので、a=6が適となります。
（もう一つのa=1は∠BAC=135°の場合になります）

補足

なるほど、わかりやすかったです。
この問題で垂心をＯとすると∠ＢＯＣ＝135°になるので、ＯＨ＝１ということもわかるのですね。

回答No.13

mixchann

三角比、三角関数を使った回答を提示します。まず、tan の加法定理をおさらいしておきます。
　　tan(α+β)＝{tan(α)＋tan(β)}／{1－tan(α)・tan(β)}　………(＊)
　いま、ＡＨ＝ａ、∠ＣＡＨ＝α、∠ＢＡＨ＝βとおくと、題意から
　　∠ＢＡＣ＝α＋β＝４５°、tan(α)＝３／ａ、
　　tan(β)＝２／ａ
となります。
　これらを、tan の加法定理(＊)に代入すると、tan(４５°)＝１ですから、
　　１＝（３／ａ＋２／ａ）／{１－(３／ａ)・(２／ａ)}
右辺の分母・分子にa^2 をかけると、
　　１＝（３ａ＋２ａ）／（a^2－３・２）
右辺の分母を払うと、
　　a^2－３・２＝３ａ＋２ａ
　　a^2－５ａ－６＝０
　　(ａ＋１)(ａ－６)＝０
ａ＞０より、ａ＝６
　　　　　　　　　　　　　　　　(答え) ＡＨ＝６

お礼

みなさん回答ありがとうございました。
とても勉強になりました（＾＾）

回答No.12

kony0

hinebot様

#4の方法でも出てくる式は#9と同じa^4-37a^2+36=0です。
ただし#9の方法では、「両辺を２乗する(#)」の前段階で、（左辺が非負だから、右辺について）a^2-6≧0が式変形の過程で言えるのが利点ですね。（a=1について難しい吟味をすることなく除外できる）

ちなみに、#4の方法による私の回答は以下の通りです。これだと、x=1をどう切るかが勝負ですね。

　AH=xとおく。
→AB^2=x^2+4
→AK^2=BK^2=(x^2+4)/2
→CK^2=25-(x^2+4)/2
→BK:CK=AH:CHより (x^2+4)/2 : (23-x^2/2) = x^2 : 3^2
→x^4-37x^2+36=0

回答No.11

BLUEPIXY

#10>円の方程式
(x,y)=(a,b)を中心とする半径rの円の方程式は
(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 #r^2はｒ２乗の意
です。
式の意味は、点（a,b）から距離ｒの点（x,y）

回答No.10

BLUEPIXY

＃５で、∠ＯＢＨ＝４５°になる理由（って程のもんでもないけど）
＃５のやり方で
円周上の角∠ＢＡＣ＝４５°の時
それに対応する円周角∠ＢＯＣ（ＢＣ側）＝９０°
となり、しかもＯＢ＝ＯＣ＝Ｒで
△ＢＯＣは直角２等辺三角形になるので
∠ＯＢＨ（∠ＯＢＣ）＝４５°になることは明らか。

補足

∠ＯＢＨ＝４５°になることはよくわかりました。
「円の方程式をｘ＝０としてｙについて解く」とありましたが、円の方程式について教えてもらえませんか？

回答No.8

mirage70

BよりACに垂線をおろし交点をI、
CよりABに垂線をおろし交点をJとし、垂心をOとし、
AH=aとおくとAB=√(4+a^2),AC=√(9+a^2)
４点OICHは同一円周上にあるのでBH*BC=BO*BI
同様に４点AJOIも同一円周上にあるからBO*BI=BJ*AB
よってBH*BC=BO*BI=BI*AB=10
同様に４点が円周上にあることを組み合わせると、
CH*BH=CO*CJ=CI*CA=15
よってCI=15/AC=15/√(9+a^2)
AI=AC-CI=(a^2-6)/√(9+a^2)
△AIBは直角二等辺三角形より、AI=BI
BI^2=BC^2-CI^2=25a^2/(9+a^2)
よって、a^2-6=5a此でaは求まります。
中学レベルの解き方

回答No.7

BLUEPIXY

#6様
＞∠BAH=45°と取り違えられているように思いますが…。
＃５で∠BAH=45°などとは書いていませんし、思ってもいませんが…

回答No.6

hinebot

#1です。
「AH⊥BC」という条件を軽視してました。
確かに△は確定しますね。済みませんでした。

ところで、#4さんをヒントに私なりに計算してみましたが、４次方程式が出てきて、中学生レベルとは思えなかったです。（やり方が悪いのかな…）

あと、#2の方と#5の方は∠BAC=45°を∠BAH=45°と取り違えられているように思いますが…。

計算方法としては#3さんの方法が適していると思います。

補足

#3さんの方法で、余弦定理でルートをはずすために二乗とありますが、そのあたりの計算を詳しく説明していただけないでしょうか。申し訳ありません。

回答No.5

BLUEPIXY

ｘｙ座標で
△ＡＢＣをＨが原点になるように描く
△ＡＢＣの外接円を描く
この外接円の半径Ｒは
２Ｒ＝５／ｓｉｎ４５°
から求めることができる。
円の中心Ｏは、点Ｂと点Ｃの中間で
∠ＯＢＨ＝４５°だから
円の中心は、
（ｘ，ｙ）＝（－１／２，５／２）
これでできる円の方程式をｘ＝０として
ｙについて解くとｙはそのままＡＨで
６

回答No.4

kony0

まず△ABCの形状は一意に定まります。

さて、BからACにおろした垂線の足をKとすると、相似な三角形が出てきます。また直角二等辺三角形も出てきます。

これくらいのヒントでなんとかならないでしょうか？
（計算大変そうですが、中学レベルです）

回答No.3

mirage70

AH⊥BCで BH=2,HC=3という条件で、BCに垂線をたてて、
此の垂線上に、線分BCより近い方から順にとっていけば、
∠BACは鈍角、直角、鋭角となって∠BAC=45°となる点Aを
決めることが出来ます。
計算で解くには、三平方の定理を使います。
AH⊥BCより、AH=aと置くとAB,ACをルートのついた文字式で表すことが出来ます。
次に、余弦定理を使うと求めることが出来ます。
余弦定理で、ルートをはずすために二乗しますので、
45°だけでなく、135°のものも混じりますので、此処に注意すれば、整数で答えが出てきます。
方眼紙だけで解くとありましたが、高校生でないと解けないと思います。