三角比を使えば良いでしょうか。

質問

三角形ABCにおいて、AB=6・AC=3・∠A=120°である。

・∠Aの二等分線が、辺BCと交わる点をDとすると、AD=いくつか？

・頂点Aより辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、AH=いくつか？

という問題があります。
三角比を使って解いてみたのですが、思うように解けません。
私のやり方が悪いのか。　またやり方自体がちがうのか。

どなたか、教えていただけませんでしょうか。

宜しくおねがいします。

回答No.5

noname#189285 · ベストアンサー

三角関数を使わない方法を記します。下の添付図を参照して下さい。赤線が補助線です。

＞∠Aの二等分線が、辺BCと交わる点をDとすると、AD=いくつか？

左の図のように、角AEB＝90°となるよう点Eを作ります。すると三角形BAEは30°、60°、90°の直角三角形となるのでAE：AB＝1：2よりAE＝3と分かります。角DAC＝60°、AC=3なので三角形EACは正三角形です。

従ってABとCEは平行です(ACに対して60°)。従って三角形DABとDECは相似と分かります。長さの比はAB：CE＝2：1です。

従ってAD：ED＝2：1より、AD＝2と分かります。

＞頂点Aより辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、AH=いくつか？

右の図のように角AGBが90°となるように点Gを作ります。三角形BGAは30°、60°、90°の直角三角形なので、GA：AB：GB＝1：2：√3よりGA＝3、GB＝3√3と分かります。

従って三角形BGCの面積は(1/2)×6×3√3＝9√3です。

線BCの長さは

BC^2＝6^2＋(3√3)^2
　　　＝36＋27
　　　＝63

BC＝3√7

です。従って点GからBCへの垂線(緑線)は三角形BGCの底辺BCに対する「高さ」なので

(1/2)×3√7　×　高さ　＝　9√3

より

高さ＝(18√3) / (3√7)
　　＝(6√21) / 7

です。

上記の「高さ」とAHの比はCG：CA＝2：1と同じなので

AH＝(3√21) / 7

以上が答えとなります。

お礼

回答をいただき、ありがとうございました。
わざわざ添付図まで付けていただけたので、とても良く分かりました。
三角関数を使わない方法もあるなんて知りませんでした。（覚えていなかっただけかも知れませんが。）

いただいた回答を参考にさせていただき、きちんと復習をして
頭に入れたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.4

nag0720

余弦定理を使わない場合

・∠Aの二等分線が、辺BCと交わる点をDとすると、AD=いくつか？

Hから辺ABに下ろした垂線の足をE、辺ACに下ろした垂線の足をFとすると、
AE=AF=(1/2)AD
DE=DF=(√3/2)AD
BD^2=BE^2+DE^2=(6-AE)^2+DE^2=36-12AE+AE^2+DE^2=36-6AD+AD^2
CD^2=CF^2+DF^2=(3-CF)^2+DF^2=9-6CF+CF^2+DF^2=9-3AD+AD^2

また、∠Aの二等分線の性質より、
BD：CD=AB：AC=6：3
よって、
(36-6AD+AD^2)/(9-3AD+AD^2)=(6/3)^2=4
これを解くと、
AD=2

・頂点Aより辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、AH=いくつか？

前の問題の解答から、
BD^2=36-6AD+AD^2=28
CD^2=9-3AD+AD^2=7
なので、
BC=√28+√7=3√7

AH^2=AB^2-BH^2=36-BH^2
AH^2=AC^2-CH^2=9-(3√7-BH)^2=-54+6√7BH-BH^2
よって、
-54+6√7BH=36
BH=15/√7

AH^2=36-BH^2=36-225/7=27/7
よって、
AH=3√21/7

お礼

わかりやすい回答をいただき、ありがとうございます。

自分の考え方が間違っていた事が、よく分かったのできちんと頭に入れて
勉強し直します。

本当にありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

しまった。計算ミスです。
△ＡＢＣの面積は
ＡＢ＊Ａｃ＊ｓｉｎ１２０°／２　であり、ＢＣ＊ＡＨ／２　でもあります。
よって両者を等しいとおき数値を代入すると
６＊３＊√３／２＝３√７＊ＡＨ　（左辺に／２が抜けていました）
ＡＨ＝３√３／√７
　　＝３√２１／７

お礼

訂正までいただき、ありがとうございます。

回答No.2

tomokoich

△ABC=△ABD+△ADC(面積の公式s=(1/2)bcsinAを使ってください）
×を*にしています
(1/2)*AB*AC*sinA=(1/2)*(AB*AD+AC*AD)*sin(A/2)
(1/2)*6*3*sin120°=(1/2)*(6AD+3AD)*sin60°
9*(√3/2)=(1/2)*9AD*(√3/2)
1=(1/2)AD
AD=2

余弦定理を使って
BC^2=6^2+3^2-2*6*3*cos120°
=36+9-36*(-1/2)
=45+18
=63
第二余弦定理を使って
cosB=((√63)^2+6^2-3^2)/(2*6*√63)
=(63+36-9)/12√63
=90/(12√63)
=5/(2√7)
sin^2B=1-cos^2B
=1-25/28
=3/28
sinB=√3/√28

AH=AB*sinB
=6*(√3/√28)
=3√21/7

お礼

詳しい回答を、ありがとうございました。
自分の考えていた計算の仕方が、全く違っていました。
きちんとやりなおして、頭に入れたいとおもいます。

本当にありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

ＡＤは∠Ａを二等分しているので、ＤからＡＣ，ＡＢに下ろした垂線の長さは等しくなります。ということは、△ＡＢＤと△ＡＣＤの面積の比は２：１です。よって、ＢＤとＤＣの長さの比は２：１です。
　余弦定理より　
ＢＣ＾２＝ＡＢ＾２＋ＡＣ＾２－２ＡＢ・ＡＣｃｏｓ１２０°
　　　　＝３６＋９＋２＊６＊３＊１／２
　　　　＝６３
ＢＣ＝３√７なので　ＢＤ＝２√７　・・・（１）
　さらに余弦定理を使うと
ＢＤ＾２＝ＡＢ＾２＋ＡＤ＾２－２＊ＡＢ＊ＡＤｃｏｓ６０°
２８＝３６＋ＡＤ＾２－６ＡＤ
ＡＤ＾２－６ＡＤ＋８＝０
（ＡＤ－２）（ＡＤ－４）＝０
ここでＡＤ＝４とすると三角形ＡＣＤについて
ＣＤ＾２＝ＡＤ＾２＋ＡＣ＾２－２＊ＡＤ＊ＡＣ＊ｃｏｓ６０°
　　　　＝１６＋９－２＊４＊３＊１／２
　　　　＝１３
よりＣＤ＝√１３となり（１）に反するのでＡＤ＝２

△ＡＢＣの面積は
ＡＢ＊Ａｃ＊ｓｉｎ１２０°／２　であり、ＢＣ＊ＡＨ／２　でもあります。
よって両者を等しいとおき数値を代入すると
６＊３＊√３＝３√７＊ＡＨ
ＡＨ＝６√３／√７
　　＝６√２１／７

お礼

回答を、ありがとうございました。
分かり易く答えてくださり、本当に感謝いたします。

きちんとやりなおして、頭に入れたいと思います。

本当にありがとうございました。