数Iの図形と軽量のある問題についての質問

質問

ある学校の過去の入試問題を一応解いてみたものの、
解答が手もとにないため自分の解き方があっているか不安です。
どなたか解き方を教えて頂けないでしょうか？
以下がその問題です。

[問題]
AB＝2√2,AC=2√3,B＝60°,C＝45°の三角形ABCにおいて、
点AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1)BHおよびHCの長さを求めよ。
(2)cos75°を求めよ。
(3)sin15°を求めよ。
(4)cos15°を求めよ。

社会人なので特に数学の問題を直接聞く相手もおらず、困っています。
よろしくお願いします。

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＞(1)ＢＨ=AB×cos60°＝2√2×1/2=√2
＞　　ＨＣ＝ＡＣ×cos45°＝2√3×1/√2＝√6

＞(2)ＢＣ＝ＢＨ＋ＨＣ＝√2＋√6
＞　また、∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＨ＋∠ＣＡＨ＝30°＋45°＝75°
＞　よって、余弦定理を用いて
＞　cos75°＝（ＡＢ²＋ＡＣ²－ＢＣ²）/2×ＡＢ×ＡＣ　　
＞　　　　　　＝{(2√2)²＋（2√3）²－（√2＋√6）²}/2×2√2×2√3
＞　　　　　　＝（√6－√2）/4
＞
＞(3)sin15°＝cos(90°－15°)
＞　　　　　　＝cos75°
＞　　　　　　＝（√6－√2）/4
＞
＞
＞(4)cos15°＝sin(90°－15°)
＞　　　　　　　＝sin75°　
＞　　sin²θ＋cos²θ＝１より
＞　　sin²75°＝１－cos²75°
＞　　　　　　＝1－{（√6－√2）/4}²
＞　　　　　　＝（2＋√3）/4
＞cos75°＞0より←特に、ここの表現の仕方が不安です…。
＞cos75°＝（途中を省略）＝（ √3＋1）/2 ←2重根号をはずした答え

(1)から(3)はあってます。

(4)はcos15°ですよね？
(cos15°)^2+(sin15°)^2=1より、
(cos15°)^2＝1-(sin15°)^2
　＝1-｛（√6-√2）/4｝＾2
　　　　　＝1-（8-2√12）/16
　　　　　＝16/16-（8-2√12）/16
　　　　　＝（8+2√12）/16・・・※
よって、
cos15°＞0だから、（上の計算からは２乗をはずしたら±の２つ答えが出ますが、マイナスの方は明らかに解ではないのでここに”cos15°＞0”をいれておいくとよいと思います。
cos15°＝√（8+2√12）/4
　　　＝（√6+√2）/4

※のところ、（cos15°）＾2は約分せずにそのままに通分してしました。先の展開を予想するとそのままのほうがいいのかなという判断です。

もし約分した場合はどうなるかを補足しておきます。
※からです。
（cos15°）＾2＝（2+√3）/4となります。
cos15°＞0より、
cos15°＝√｛（2+√3）/4｝＝√｛（4+2√3）/8｝
　　　　＝（√3+√1）/√8＝｛√6+√2）/4
当然ですが、結果は同じです。どちらでもいいと思います。

ところで、質問者さんは(4)でsin75°を求めようとしていますが、質問文と違います。もしsin75°の値を求めるのだったら、ということで質問者さんの解答をみますと、

＞　　sin²75°＝１－cos²75°
＞　　　　　　＝1－{（√6－√2）/4}²
＞　　　　　　＝（2＋√3）/4
＞cos75°＞0より←特に、ここの表現の仕方が不安です…。←「sin75°＞0より」です。
＞cos75°＝（途中を省略）＝（ √3＋1）/2 ←2重根号をはずした答え←sin75°＝です。それで計算途中をたぶん間違われているのだと思います。答えは（√6+√2）/4になると思います。確認してみてください。

お礼

解答を直して頂いてありがとうございます。(4)は、普通に（3）の答えと
sin²θ＋cos²θ＝1を用いて計算すればよかったのに…
私が変に面倒くさく考えていたようです。

また、(4)の解き方自体が私の誤りだったのですが…
「cos75°＞0より」のところは、「sin75°＞0より」であるのにcosと誤って私が打っていたみたいです。以後、質問する際には打ち間違えのミスがないように気をつけます。
また、計算し直してみると、ちゃんと（√6＋√2）/4になりました。

解答を見て頂いて非常に助かりました。

回答No.2

suko22

この問題の流れだったら、
(2)以降は余弦定理と三角比の公式で処理できます。

(2)(1)でＢＣの長さがわかるので、△ＡＢＣで余弦定理を使うとcos75°が求まります。

(3)三角比の公式
　cos(90°-Ａ）＝sinＡを使えばsin15°が出せます。

(4)sin^2θ+cos＾2θ＝1を使えばcos15°が出ます。

補足

早速回答ありがとうございます。解き方の流れはあってたみたいです。
以下が私の解答の仕方なのですが、このような感じで大丈夫でしょうか？
とくに（4）の解答の仕方はこれでいいのか不安です。
（分子は分かりやすくするためカッコでひとくくりにしました。）

(1)ＢＨ=AB×cos60°＝2√2×1/2=√2
　　ＨＣ＝ＡＣ×cos45°＝2√3×1/√2＝√6

(2)ＢＣ＝ＢＨ＋ＨＣ＝√2＋√6
　また、∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＨ＋∠ＣＡＨ＝30°＋45°＝75°
　よって、余弦定理を用いて
　cos75°＝（ＡＢ²＋ＡＣ²－ＢＣ²）/2×ＡＢ×ＡＣ　　
　　　　　　＝{(2√2)²＋（2√3）²－（√2＋√6）²}/2×2√2×2√3
　　　　　　＝（√6－√2）/4

(3)sin15°＝cos(90°－15°)
　　　　　　＝cos75°
　　　　　　＝（√6－√2）/4

(4)cos15°＝sin(90°－15°)
　　　　　　　＝sin75°　
　　sin²θ＋cos²θ＝１より
　　sin²75°＝１－cos²75°
　　　　　　＝1－{（√6－√2）/4}²
　　　　　　＝（2＋√3）/4
cos75°＞0より←特に、ここの表現の仕方が不安です…。
cos75°＝（途中を省略）＝（ √3＋1）/2 ←2重根号をはずした答え

回答No.1

suko22

これも以前同じ問題に回答していますので、そちらを参考にしてください。

http://okwave.jp/qa/q7722629.html

わからないところがあれば補足入れていください。