pのときqの証明

質問

pのときqの証明をするとき、qを変形していくとpになることは正しいかわからないので質問します。
問題は、複素平面上で0,α,βの表す点が正三角形の頂点であるとき、α^2+β^2-αβ=0であることを証明せよ。
です。
自分は、αが0の時は三角形ができないのでα≠0、α^2+β^2-αβ=0をα^2で割って、1+(β/α)^2-(β/α)=0
これを(β/α)の２次方程式として解いて、(β/α)=cos(±60°)+isin(±60°)よって、0,α,βの表す点が正三角形の頂点である。としました。しかし本の解説では、β=α{cos(±60°)+isin(±60°)}からはじめて、これを変形しβ-(1/2)α=±(√3/2)αiよってα^2+β^2-αβ=0である。としています。自分の疑問点は、自分のやり方でも正しい証明方法かどうかということです。インターネットでしらべたところ、pのときqの証明は、pからはじめて同値な変形をしてqを導くか、pからはじめて必ずしも同値ではない変形をしてqを導き、qからはじめて必ずしも同値ではない変形をしてpを導き、これを合わせるという2つの方法しか書いてなかったので自分のやり方でも正しい証明方法か心配です。どなたかqからはじめて同値な変形をしてpを導くは正しい証明方法かどなたか教えてください、お願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

もちろん正しい証明法『ではありません』。

qを変形してpになったのなら、「qならばp」を証明した、ということです。あなたの記述は、まさに「α^2+β^2-αβ=0 ならば 0,α,βの表す点が正三角形の頂点」を示していて、問題で示せ、と言われていることとは逆命題です。

お礼

お返事ありがとうございます。勉強になりました。