幾何の証明で、頂点のつけ方

質問

幾何の証明(複素数を使う)で、図形の場合分けが必要かわからないので質問します。問題は、
複素平面上でZ_1,Z_2,Z_3を表す点をそれぞれA,B,Cとし、△ABCの3辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとする。いま辺ABおよびACをそれぞれ斜辺とする2つの直角２等辺三角形を△ABCの外側につくり、それぞれの頂点をP,Qとするとき、→NPをそれぞれ複素数を用いて表せ。
です。
　自分は三角形の頂点が反時計回りにABCの三角形を考えて(添付した図の1))、→NPは→NAをNの周りに90°回転したものとして、→NP=(Z_1-(Z_1+Z_2)/2)*i={(Z_1-Z_2)/2}*iと答えたのですが、問題集の解説では→NPは→NAをNの周りに-90°回転したもの→NP=-{(Z_1-Z_2)/2}*iも答えでした。この-90°回転は三角形の頂点が時計回りにABCの三角形を考えていると思う(添付した図の2))のです。
　ここからが3つの疑問点です。問題集のように、問題文で頂点がふってある図形を提示されない場合は、頂点の時計回り、反時計回りなどいろいろ図形の場合分けをして答えを出さないと、正解にはならないのでしょうか？・・・(1)また添付した図の1)で→NPは→NBをNの周りに-90°回転したものとして、→NP=-{(Z_2-Z_1)/2}iは正解でしょうか？・・・(2)また、別の問題で、複素数平面上で原点Oと異なる2点P_1,P_2で表される複素数をそれぞれ、Z_1,Z_2とする。いま△OP_1P_2の外側に、正方形OP_1Q_1R_1および正方形OP_2Q_2R_2を作るとき、線分R_1R_2の中点をMとすれば、OMの長さ=1/2(P_1P_2の長さ)かつOMとP_1P_2は垂直であることを証明せよ。
において問題集の解説では△OP_1P_2の頂点をO,P_1,P_2の順に回る向きが時計の針の進行方向と逆であるとしても一般性は失われない。と書いてあるのですが、(自分も問題集の解説の通りの図をかいて証明し、だいたい正解でした。)問題集とは違い、△OP_1P_2の頂点をO,P_1,P_2の順に回る向きが時計の針の進行方向と同じとしても一般性は失われないのでしょうか？・・・(3)
　どなたか以上の(1)～(3)の3つの疑問点に答えてくださいお願いします。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

(1)
答案に図1のみを描き
「以下、3点A , B , Cは反時計回りの順であるとして題意を示す。3点A , B , Cが時計回りの場合は回転角の符号が正負逆になる」
とことわったうえで議論を進めればよいです。

(2)
「NBを、N中心に (-π/2) 回転させたもの」と
「NAを、N中心に (π/2) 回転させたもの」は同じですので、正解です。

(3)
(1) と同様に、いずれか一方の図を描いて
「頂点の順番が逆周りの場合は以下の議論において回転角を正負逆にする」
とことわっておけば一般性は失われません。

お礼

(1)への回答で、回転角の符号が正負逆になる。という書き方は今まで知りませんでした、勉強になりましたありがとうございます。

回答No.1

f272

(1)
三角形の頂点は時計回り、反時計回りの2種類しかありません。場合分けというほどのことはないが、両方のことに言及しなければ正解とは言えないだろう。
(2)
-{(Z_2-Z_1)/2}i={(Z_1-Z_2)/2}*i
ですからそれでも正解ですね。
(3)
もちろんそれでも一般性は失われません。全く同じような議論が可能です。

お礼

3つの疑問に答えいただき、ありがとうございます。