△αβγが正三角形である⇔α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0の証明

質問

△αβγが正三角形である⇔α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0の証明に
γ-α=(β-α){cos(±60)+isin(±60)}
⇔γ-α=(β-α){1/2 ± (√3/2)i}
から変形していく解法がいいといわれたのですが、なぜですか？
他にもいろいろ証明方法はあると思うのですが。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

正三角形であることを示すには、「３辺の長さが等しい」「２辺の長さが等しく
間の角が６０°」などを使うのが分かりやすいでしょう。

ところで複素数は
掛け算⇔回転と拡大縮小
の関係があります。長さを使うと式を２つ作らないといけませんが
γ-α=(β-α){1/2 ± (√3/2)i} 　これだと１つで済みます。これで
「２辺の長さが等しく間の角が６０°」
が表せるわけですね。これを変形していくと

｛(γ-α)/(β-α)｝＝{1/2 ± (√3/2)i}
　２｛(γ-α)/(β-α)｝－１＝（√３）i
両辺２乗してｉを消すと証明したい式になります。

お礼

お返事どうもありがとうございます！
すみません、説明不足でした。複素数による証明とそれ以外の証明方法との違いではなくて、同じ複素数による証明方法の中で上記の解法を選ぶ理由は何かが知りたかったんです。他に下記のような解法もあると思うのですが、上記の「｛(γ-α)/(β-α)｝＝{1/2 ± (√3/2)i} , ２｛(γ-α)/(β-α)｝－１＝（√３）i ,両辺２乗してｉを消すと証明したい式になります。」 が下記の解法と比べて優れている理由や面はどこにあるのでしょうか？よろしくお願いします。

「△αβγが正三角形
⇔△αβγとβγαが同じ向きに相似
⇔（γ－α)/(β－α）＝（α－β)/(γ－β）
⇔（γ－α)(γ－β）＝（α－β)(β－α）
⇔α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0」

回答No.4

noname#24477

今、下の補足を読みました。
おもしろいやり方ですね。計算も楽そうですし。

式を追ってみましたが特に間違っているところもないように思います。
いいんじゃないでしょうか。

お礼

そうですか。ありがとうございました！

回答No.3

mmky

#2のmmkyです。
#2は、すれていてごめん。
いろいろ考えましたが＃1のojamanbo以上の回答はありませんでした。
参考にならなくて、ごめんね。
追伸まで

お礼

追伸どうもです！

回答No.2

mmky

参考にならないかもしれませんが、

球面に正三角形を描くと、「３辺の長さが等しい」はいえますが角度は
60度になりましたけ？
「２辺の長さが等しく 間の角が６０°」という条件は平面だけでは。
角度を入れるほうが条件はきついのですよね？

考えつくまでということで。
ずれていたらごめん。

お礼

すみません、何を仰っているのかちょっとわかりかねるのですが・・・。

＞球面に正三角形を描くと、「３辺の長さが等しい」はいえますが角度は
60度になりましたけ？

３辺の長さが同じ三角形は６０度になると思うのですが。