複素数

質問

複素数ω=cos(2π/7)+sin(2π/7)にたいして、α=ω+ω^6, β=ω^2+ω^5, γ=ω^3+ω^4
とおく。
α+β+γ,αβ+βγ+γα,αβγの値を求めよ。

という問題なのですがどうしたらいいかわかりません。解説お願いします。

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

ω=cos(2π/7)+isin(2π/7)=e^(i2π/7)

ω^7=e^(i2π)=1 (1)

1+ω+ω^2+...+ω^6=(1-ω^7)/(1-w)=0 (2)

ω+ω^2+...+ω^6=-1 (3)

α+β+γ=ω+ω^6+ω^2+ω^5+ω^3+ω^4=-1

αβ+βγ+γα=(ω+ω^6)(ω^2+ω^5)+(ω^2+ω^5)(ω^3+ω^4)+(ω^3+ω^4)(ω+ω^6)

=ω^3(1+ω^5)(1+ω^3)+ω^5(1+ω^3)(1+ω)+ω^4(1+ω)(1+ω^5)

=ω^3(1+ω+2ω^2+2ω^3+2ω^5+2ω^6+ω^7+ω^8)

=ω^3(ω^2+ω^3+ω^5+ω^6+ω^7+ω^8-ω^4) ((2)を使用)

=ω^3(1+ω+ω^2+ω^3+ω^5+ω^6-ω^4) ((1)を使用)

=ω^3(-2ω^4)=-2ω^7=-2 ((1)を使用)

αβγ=(ω+ω^6)(ω^2+ω^5)(ω^3+ω^4)=ω^6(1+ω^5)(1+ω^3)(1+ω)

=ω^6(1+ω+ω^3+ω^4+ω^5+ω^6+ω^8+ω^9)

=ω^6(1+ω+ω^3+ω^4+ω^5+ω^6+ω^8+ω^9)

=ω^6(-ω^2+ω+ω^2)=ω^7=1 ((1)(2)を使用)

回答No.5

Tacosan

#4 の途中から
・(x^7-1)/(x-1) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 が相反方程式である
・ω, ω^2, ω^3 がすべて上の方程式の解である
・α≠β≠γ≠α
に気づくと解と係数の関係が使える.

回答No.3

trytobe

これは、先に α+β+γ や αβ+βγ+γα を ω の関数として計算しておいて、そこから αβγ を求めたほうが楽なのかな、と思いますが。

α+β+γ
= ω+ω^6 + ω^2+ω^5 + ω^3+ω^4
= cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(12π/7)+isin(12π/7) + cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(10π/7)+isin(10π/7) + cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(8π/7)+isin(8π/7)
= cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(2π/7)-isin(2π/7) + cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(4π/7)-isin(4π/7) + cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(6π/7)-isin(6π/7)
= 2cos(2π/7) + 2cos(4π/7) + 2cos(6π/7)
= 2{cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)}

で、=2×(-1) になるはずで、α+β+γ ＝ -2　※まともに三角関数ではなく単位円で計算を省いていますが

αβ+βγ+γα
= ω^3+ω^8+ω^6+ω^11 + ω^5+ω^6+ω^8+ω^9 + ω^4+ω^5+ω^9+ω^10

= cos(6π/7)+cos(16π/7)+cos(12π/7)+cos(22π/7) + cos(10π/7)+cos(12π/7)+cos(16π/7)+cos(18π/7) + cos(8π/7)+cos(10π/7)+cos(18π/7)+cos(20π/7)
+ sin(6π/7)+sin(16π/7)+sin(12π/7)+sin(22π/7) + sin(10π/7)+sin(12π/7)+sin(16π/7)+sin(18π/7) + sin(8π/7)+sin(10π/7)+sin(18π/7)+sin(20π/7)

= cos(6π/7)+cos(2π/7)+cos(2π/7)+cos(6π/7) + cos(10π/7)+cos(12π/7)+cos(12π/7)+cos(10π/7) + cos(8π/7)+cos(10π/7)+cos(10π/7)+cos(8π/7)
+ sin(6π/7)+sin(2π/7)-sin(2π/7)-sin(6π/7) + sin(10π/7)+sin(12π/7)-sin(12π/7)-sin(10π/7) + sin(8π/7)+sin(10π/7)-sin(10π/7)-sin(8π/7)

= 2cos(6π/7)+2cos(2π/7) + 2cos(10π/7)+2cos(12π/7) + 2cos(8π/7)+2cos(10π/7)

= 2cos(6π/7)+2cos(2π/7) + 2cos(4π/7)+2cos(2π/7) + 2cos(6π/7)+2cos(4π/7)

= 4cos(2π/7) + 4cos(4π/7) + 4cos(6π/7)
= 2(α+β+γ)
= 2×(-2) になるはずで、αβ+βγ+γα ＝ -4　※まともに三角関数ではなく単位円で計算を省いていますが

αβγ = ω^6+ω^7+ω^9+ω^10+ω^11+ω^12+ω^14+ω^15

= cos(12π/7)+cos(14π/7)+cos(18π/7)+cos(20π/7)+cos(22π/7)+cos(24π/7)+cos(28π/7)+cos(30π/7)
+ sin(12π/7)+sin(14π/7)+sin(18π/7)+sin(20π/7)+sin(22π/7)+sin(24π/7)+sin(28π/7)+sin(30π/7)

= cos(2π/7)+cos(2π)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(4π)+cos(2π/7)
+ sin(2π/7)+sin(2π)+sin(4π/7)+sin(6π/7)-sin(6π/7)-sin(4π/7)+sin(4π)+sin(2π/7)

= 2{cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)}+2 + 2sin(2π/7)

なんだか、あまり美しくないですが・・・。

回答No.2

yyssaa

＞iを虚数単位として
ω=cos(2π/7)+sin(2π/7)は=cos(2π/7)+isin(2π/7)でしょう。
であれば、2π/7=θとしてオイラーの公式によりω=e^(iθ)
として計算すればよい。
α=ω+ω^6=e^(iθ)+e^(i6θ)
=cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(12π/7)+isin(12π/7)
=cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(2π-2π/7)+isin(2π-2π/7)
=cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(2π/7)-isin(2π/7)
=2cos(2π/7)
β=ω^2+ω^5=e^(i2θ)+e^(i5θ)
=cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(10π/7)+isin(10π/7)
=cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(2π-4π/7)+isin(2π-4π/7)
=cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(4π/7)-isin(4π/7)
=2cos(4π/7)=2cos(2π/7+2π/7)=2{cos^2(2π/7)-sin^2(2π/7)}
=2{2cos^2(2π/7)-1}=4cos^2(2π/7)-2
γ=ω^3+ω^4=e^(i3θ)+e^(i4θ)
=cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(8π/7)+isin(8π/7)
=cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(2π-6π/7)+isin(2π-6π/7)
=cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(6π/7)-isin(6π/7)
=2cos(6π/7)=2cos(2π/7+4π/7)=2{cos(2π/7)cos(4π/7)-sin(2π/7)sin(4π/7)}
=4cos^3(2π/7)-2cos(2π/7)-2sin(2π/7)sin(4π/7)}=(*)
ここでsin(4π/7)=sin(2π/7+2π/7)=2sin(2π/7)cos(2π/7)だから
sin(2π/7)sin(4π/7)=2sin^2(2π/7)cos(2π/7)=2cos(2π/7){1-cos^2(2π/7)}
=2cos(2π/7)-2cos^3(2π/7)
(*)=8cos^3(2π/7)-6cos(2π/7)
α+β+γ=2cos(2π/7)+4cos^2(2π/7)-2+8cos^3(2π/7)-6cos(2π/7)
=2{4cos^3(2π/7)+2cos^2(2π/7)-2cos(2π/7)-1}・・・答
αβ={e^(iθ)+e^(i6θ)}*{e^(i2θ)+e^(i5θ)}
=e^(i3θ)+e^(i6θ)+e^(i8θ)+e^(i11θ)
=cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(12π/7)+isin(12π/7)
+cos(16π/7)+isin(16π/7)+cos(22π/7)+isin(22π/7)
後は同様にご自分でどうぞ！

回答No.1

spring135

ω=cos(2π/7)+sin(2π/7)

は複素数ではない。

補足

すみません。sinの前にiを忘れました