教えて下さい。

質問

「放物線ｙ＝1/4ｘ^2の焦点をＦ。準線をｌとする。
ｌ上の点Ｐから放物線へ引いた接線の接点をＱとし、
Ｑからｌにおろした垂線の足をＨとする。
直線ＱＰは∠ＦＱＨを2等分することを証明せよ。」
という問題なんですが、とりあえず、ＦＱ＝ＨＱ、
ＱＰが共通なので、あとはＰＦ＝ＰＨが証明できれば、
「ΔＦＱＰとΔＨＱＰが合同なので…」とまとめることができると思うのですが、ＰＦ＝ＰＨをどうやって証明すれば良いのかがわかりません。

回答No.4

qntmphscs · ベストアンサー

方針は合っています。
ただこの問題のポイントは∠PFQ=90°を理解することだと思われます。
FQ=HQ,PQ=PQ,∠PHQ=∠PFQ=90°を利用して直角三角形
の合同に持ち込む方がすっきりします。
この方針で進むなら∠PFQ=90°だけを示せば済みます。具体的には

Q(t,1/4t^2),F(0,1),H(t,-1),P(a,-1)と置いて、
Pのx座標aをtで表します。
直線PQは微分で求められますね。
（直線PQはy=1/2t(x-t)+1/4t^2,a=(t^2-4)/(2t)になります。）

線分PFの傾きと線分FQの傾きをそれぞれtで表し、
直交することを確かめて下さい。
（PFの傾き:(4t)/(4-t^2),FQの傾き:(1/4t^2-1)/t）
この結果から∠PFQ=90°が成り立つことがわかります。

お礼

アドバイス、どうもありがとうございましたｍ（＿＿）ｍ
実際にやってみて、解くことが出来ました（＾＾）

回答No.3

eatern27

#1さん,#2さんの仰るように、Ｐの座標を文字でおいて、計算するのがいいでしょうね。
(一応、書いておきますがＰのｙ座標は-1ではないかと思います)

参考程度ですが,幾何的に解けなくもないですね。

その解き方を書く前に断っておきますが、何ヶ所か証明を省きます。その部分の証明をするのなら、#1さん,#2さんの仰るような解き方をする方が簡単だと思います。

Ｐから接線が２本引けることは分かるでしょう。
これらの接線の接点をＱ1,Ｑ2として、この2点からlに下ろした垂線の足をＨ1,Ｈ2とします。

このとき、点Ｐは２点Ｈ1,Ｈ2の中点(←証明必要)なので、
ＰＨ1＝ＰＨ2…★
です。

Ｑ1Ｈ1//Ｑ2Ｈ2であり、Ｑ1,Ｆ,Ｑ2が一直線上にある(←証明必要)ので、
∠ＦＱ1Ｈ1＋∠ＦＱ2Ｈ2＝180°
となります。これと、△ＦＱ1Ｈ1と△ＦＱ2Ｈ2に注目すれば
∠Ｑ1Ｈ1Ｆ＋∠Ｑ1ＦＨ1＋∠Ｑ2Ｈ2Ｆ＋∠Ｑ2ＦＨ2＝180°
という事も導けます。
さらに、△ＦＱ1Ｈ1と△ＦＱ2Ｈ2とが二等辺三角形である事から、
∠Ｑ1Ｈ1Ｆ＝∠Ｑ1ＦＨ1
∠Ｑ2Ｈ2Ｆ＝∠Ｑ2ＦＨ2
ですね。よって、∠Ｑ1ＦＨ1＋∠Ｑ2ＦＨ2＝90°です。∠Ｑ1ＦＱ2＝180°と合わせれば,

∠Ｈ1ＦＨ2＝90°…★

です。２箇所に★を書きましたが、この２つから、△Ｈ1ＦＨ2の外接円の中心は点Ｐです。

よって、ＰＨ1＝ＰＦ(＝ＰＨ2)となりました。

お礼

どうもありがとうございましたｍ（＿＿）ｍ
参考になりました。自分でもやってみます。

回答No.2

Quattro99

実際に計算してみる方法しか思いつきませんでした。
１．焦点Fの座標と準線lの方程式を求める。
２．点Qの座標を求める。
３．FPとHPの長さを求める。

お礼

アドバイス、ありがとうございましたｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

hpsk

Pの座標を(p,-4)と置いた上で、
PFは三平方の定理から、
PHは接点のx座標を求めて、そこからpを引くことで
具体的な長さが求まります。

お礼

アドバイス、ありがとうございましたｍ（＿＿）ｍ
実際に解いてみます。