二次曲線の問題

質問

お世話になっております。高校数学、二次曲線の分野からの質問です。

「双曲線(x^2/36)-(y^2/45)=1上の焦点の一つをF(9,0)とする。この双曲線上の点P(x,y)から直線x=4に下ろした垂線をPHとするとき、PF/PHの値を求めよ」という問題を初見で解いてみたのですが、どうもこのあとやる予定の離心率が絡んでるようで、離心率の説明をざっくり読んでから当たってみました。
恐らく、
定直線と定点からの距離の比が一定の動点Pの軌跡が双曲線 と、上の三点について、PF/PH=e:1(e＞1) が同値という事になるのでしょうか？
また、軌跡の証明に於いて
条件から関係式→方程式 の流れの逆を辿れば良かろうかとも思ったのですが……

で、闇雲に式を変形してe^2を係数比較して求めてみたら、PF/PH=3/2 となり、略解とは一致しました。ただ、解き方がスマートでなくて、類題に対応出来るか心配になりました。一応やり方は以下の通りです。

PF/PH=e:1 但し e＞1…(1)
焦点F側では、頂点が(6,0)だから、x≧6より、
PH=|x-4|=x-4。
PF=√{(x-9)^2+y^2}。
よって、ePH=PFに代入して更に平方して係数を比較すれば、
e^2=1,8e^2=18,16e^2=81+y^2。うち、e＞1を満たすものとして、e=3/2。
つまり、PF/PH=3/2。

どこかおかしな点ありましたら、ご指摘下さい。宜しくお願い致します。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

＞回答者様のおっしゃるのは、恐らく恒等式での矛盾のことではないかと愚考しますが……

確かに恒等式のことです。
恒等式のつもりで比較したのではないとしたら、いったいなんのために係数を比較したんでしょうか。
たまたま１次の項で条件を満たしたからと言って、２次や定数項の係数が一致しなくてもいいと判断したのはなぜなんでしょうか。

この問題はたまたま１次の項の係数が条件を満たしましたが、もし双曲線のグラフを右に１だけずらして、
双曲線：(x-1)^2/36+y^2/45=1
直線：x=5
焦点：F(10,0)
としたなら、
PH^2=(x-5)^2=x^2-10x+25
PF^2=(x-10)^2+y^2=x^2-20x+100+y^2
より、10e^2=20 ⇒ e=√2　となります。これを正しいと思いますか？

＃３さんは恒等式ではないとおっしゃっていますが（確かにx,yについての恒等式ではありませんが）
yを消去してxだけの式にすればx≧6であるすべてのxに対して成立するので、xについての恒等式になります。
実際、(x^2/36)-(y^2/45)=1　⇒　y^2=45(1-(x^2/36)) をPFの式に代入すれば恒等式になり、すべての項で係数は一致します。

そもそも、双曲線上のどんな点Pに対してもPF/PH=e:1が成立していると最初に言ったのなら、
そんな面倒な計算をしなくてもPを頂点(6,0)とすれば済む話です（PF/PH=3/2は一発で出る）。

お礼

あぁ、確かにそうですね！無駄な手順でした。既知のものを使えばいいという事ですね？
う～ん……分かったような分かってないような……あまり悩むと良くないので、一旦脱線してまた戻ります。

親切にありがとうございました

回答No.3

kabaokaba

PF/PH=e:1 但し e＞1…(1)
焦点F側では、頂点が(6,0)だから、x≧6より、
PH=|x-4|=x-4。
PF=√{(x-9)^2+y^2}。
よって、ePH=PFに代入して更に平方して係数を比較すれば、
e^2=1,8e^2=18,16e^2=81+y^2。うち、e＞1を満たすものとして、e=3/2。
つまり、PF/PH=3/2。

↑が答案にただ書かれていたとします．
この場合，私がこの解答を採点するとすると
ぶっちゃけた話「零点」です．

いろいろ突っ込みところはすでに指摘されている通りです．

けど・・まだわかってなくて，問題なのは

＞、恐らく恒等式での矛盾のことではないかと愚考しますが……

どこに恒等式がありますか？
たしかに ePH=PFを展開すると

(e^2-1)x^2+(-8e^2+18)x+(16e^2-81-y^2)=0 （たぶん計算あってると思う）

がでてきますが，これはx,yについての恒等式ではありません．
x,yってのはP(x,y)の座標のことで，これは双曲線の上の点のことであって
恒等式の要件である「任意性」はありません．
ですので恒等式の議論でeを導くことはできません
もし，ここまでのすべて正しく（No.1さんの指摘がすべてクリアされてたとしても）
恒等式といった時点でアウトです
ちなみに
(e^2-1)x^2+(-8e^2+18)x+(16e^2-81-y^2)=0
に「正解 e=3/2」を代入すると，きっちりもとの双曲線の式がでてくるのです．

=======
おまけ：
-8e^2+18=0で離心率がでてくるのは偶然ではなくある意味では必然です．
なぜなら，もともとも双曲線だから e>1
じつは適当な係数 K をもちいて

(e^2-1)x^2+(-8e^2+18)x+(16e^2-81-y^2) = K(x^2/36 - y^2/45 -1)

が恒等式になります（もちろん証明なり説明が必要）．
ここで係数比較をすれば，eの値はでてくるし，すべての係数で同じeがでるはずです．

けどこういうのは準線だとか焦点だとか離心率だとかの議論をしっかり行って
性質がきっちりわかった上でわかることです．
答案で書いてきちんと点数をもらうにはいろいろ大変でしょう．
こういうのは教科書とかの発展とかコラムにでてくるような話になります．

お礼

ご回答ありがとうございました。
問題を見て、定点と定直線からの距離の比が一定の動点の軌跡は双曲線になる証明の逆方向に解いていく問題なのかなぁとはすぐに閃いたのですが、予備知識が足りないのですかね… 特に離心率云々が……。一応教科書傍用問題で双曲線の部分にあった若干発展した問題なのですが、ちょっと取り掛かるには早かったのかな、と恥じ入っております。
二文字についての恒等式については、あまり深くやらなかったかも知れません。良い機会なので、数IIの教科書読み返そうと思います。

丁寧に対応下さって恐縮です。

回答No.2

nag0720

＃１です。

１つめについて

確かに同値ですが、そのためには、定直線が準線であり定点が焦点であるという条件が必要です。
問題文に「焦点の一つをF(9,0)とする」とあるから点Fは焦点であることはいいとしても、x=4の直線が準線かどうかはまだ確認できていません。
解答するときに、x=4が準線であることを証明して、さらに離心率についてきちんと記述しているのなら、もしかしたらマルをもらえるもしれませんが、それを書かずにいきなりPF/PH=e:1としたのなら解答としては不正解です。

ただ、離心率云々については、出題者の意図としては、PF/PHが一定になることを証明することによって、これが離心率というものであると言いたいと思われます。
御自分でも「どうもこのあとやる予定の離心率が絡んでるようで」とあるように、答案にまだ習っていない離心率のことを書いてもバツになる可能性が高いでしょう。

２つめについて

係数を比較したというのなら、すべての係数についてイコールである必要があります。
特定の１つだけ満たせばいいというものではありません。
e＞1という前提があるからe^2=1が成り立たないのなら、その前提が間違っているか、e^2=1の式が間違っているかのどちらかです。
勝手にe^2=1をなかったことにするなんてことはできません。
（実際は、e^2=1の式が出てくること自体が間違い）

お礼

詳しく回答下さり、有り難いです。

計算ミスがないか、今一度確認してみます。ただ、これまで私が解いて来た問題に、計算の結果得られる値が必ずしも前提条件を満たしはしないということがありましたので、どうなのかと。回答者様のおっしゃるのは、恐らく恒等式での矛盾のことではないかと愚考しますが……

それと、解答の流れも丁寧にしたいと思います。

回答No.1

nag0720

＞どこかおかしな点ありましたら、ご指摘下さい。

１つめ。
PF/PH=e:1 但し e＞1

出題の意図から、PF/PHが定数になるだろうことは予測できるが、それはあくまでも予測であって確定ではない。
もしかしたらPF/PHは定数にならないかもしれないことも考慮しなくてはならない。

２つめ。
e^2=1,8e^2=18,16e^2=81+y^2。うち、e＞1を満たすものとして、e=3/2。

e^2=1と16e^2=81+y^2は無視しているが、なぜ無視できるのか。
e^2=1が成り立たないのはなぜか、16e^2=81+y^2はどういう意味なのか。
この説明ができなければe=3/2と答が一致したのは単なる偶然としかいえない。

お礼

ご回答ありがとうございます。
一つ目の御指摘
質問にもありましたが、点P(x,y)が与えられた双曲線上の任意の点であるという事からです。これについては、質問の途中の「同値～？」の一文を拠り所としていますが、いただいた解答によると、同値では無いのでしょうか？

二つ目の御指摘
一つ目の御指摘に絡んでいるのですが、結局e:1,e＞1 が前提だからです。これは、点P(x,y)が双曲線の点であるからです。離心率についてもっと調べてから取り組んでいいのかなぁと感じてはおりますが……
e^2=1を考慮しなかったのは、e＞1という前提ゆえ。
16e^2=81+y^2の扱いは悩みました。そもそもこの等式自体成り立つかどうかも微妙ですし。但し、e＞1の範囲でeを求めるには、8e^2=18 で十分と考えたからです。