対数の底の変換と絶対値

質問

底の変換公式をすると、真数に絶対値がつくのがわからないので質問します。
log3(x^2)+log9({x+3}^2)+log3(1/a)=0は、log3(x^2)+log3(|x+3|)=log3(a)となるのですが、自分は最初は
log9({x+3}^2)=(log3({x+3}^2))/(log3(9))=(log3({x+3}^2))/(log3(3^2))=
2*(log3(x+3))/2*(log3(3))=log3(x+3)となると思っていたのですが、
別解として、(log3({x+3}^2))/(log3(9))=(log3({x+3}^2))/2=
(1/2)*(log3({x+3}^2))=log3({x+3}^2)^(1/2)=log3√({x+3}^2)=log3(|x+3|)というやりかたを思いつきました。
どちらかの計算が間違っているか、まったく別の理由で、log9({x+3}^2)=log3(|x+3|)になっているのかもしれません。どなたか、なぜ真数に絶対値がつくのか解説してください。お願いします。

回答No.3

gamma1854 · ベストアンサー

とにかく実数内で考える限り、「対数の真数は正数」です。
● log[a](A^2) と初めに書いてあれば、真数 A^2>0 すなわち、A≠0.
２を出すと、2*log[a]|A|.
● 2*log[a](A) と書いてあるなら、真数 A>0.
ということです。

お礼

お返事ありがとうございます。対数の変形の一つで、真数A^2のときは覚えておきます。

回答No.4

muturajcp

x<-3の時真数が負になるので

(log3({x+3}^2))/(log3(3^2))=2*(log3(x+3))/2*(log3(3))が間違い

log3({x+3}^2)=2log3(x+3)が間違い

真数は正でなければなりません
だから

(x+3)^2=|x+3|^2
だから

log3({x+3}^2)=log3(|x+3|^2)=2log3(|x+3|)

とするのです

(x+3)^2=|x+3|^2
が
常に成り立つから
絶対値
をつけることができるのです

回答No.2

gamma1854

問題としている部分だけについて。
この問題ではもちろん、(真数)>0 が前提です。
log[9](A^2) と書かれているときAの範囲は|A|≠0 であり(A>0にあらず)、
log[9](A^2) = (1/2)*log[3](A^2) = log[3]|A|.
となります。
-------------
当然、「底の変換公式を利用すると真数に絶対値がつく」などということではありません。
log[27]{(x+3)^3} = log[3](x+3)
です。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

補足

よければお返事ください。
(x+3)^2≧0のとき、|x+3|≧0となり、(x+3)^2≦0のときは、絶対値をつけて書き直すことはできないと考えてよいのでしょうか。またlog[27]{(x+3)^3} = log[3](x+3)は、(x+3)^3が正のときx+3が正だから成立すると解釈してよいでしょうか。

回答No.1

f272

> なぜ真数に絶対値がつくのか

実数関数を想定しているのなら、真数は正と決まっている。そうでなければ対数関数は定義されない。

お礼

お返事ありがとうございます。