対数の絶対値

質問

y=log(2x-1/2x+1)を微分せよって問題です。

解答は与式をlogl～～l － logl～～l　と、上引く下という風にばらしていますが、その際、絶対値がついています・・・。
確かに、真数条件として　真数＞０であるから、絶対値が必要ってことですよね…。
けどなぜ与式に絶対値がついてないのでしょうか…？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞けどなぜ与式に絶対値がついてないのでしょうか…？

　それは、与式から与えられた暗黙の条件になっています。
　つまり、
　　(2x-1)/(2x+1)＞０　　　・・・・（Ａ）
ということです。

　さて、ばらしたときに絶対値が付く理由ですが、式（Ａ）の条件だけからは、(2x-1)と(2x+1)の符号は、
　　(2x-1)＞０　かつ　(2x+1)＞０　　・・・・（Ｂ）
　　　または
　　(2x-1)＜０　かつ　(2x+1)＜０　　・・・・（Ｃ）
の２つの可能性があります。
　もし、他の条件から、式（Ｂ）の関係しかありえないことが言えるのなら、ばらしても絶対値記号をつける必要はありませんが、もし式（Ｃ）の可能性もあるとしたら、対数の中身は正でなければなりませんから、
　　y＝log{(2x-1)/(2x+1)}
　　　＝log|2x-1|-log|2x+1|
と絶対値をつけてばらさなければなりません。

お礼

解答ありがとうございました。
真数は正だという前提が暗黙の条件としてあったんですね…。

あと絶対値がつく理由が分かりました！
負÷負＝正　という場合を考慮してですか。分かりやすくありがとうございました

回答No.2

banakona

＞けどなぜ与式に絶対値がついてないのでしょうか…？

この問題は、言外に「(2x-1/2x+1)がプラスの範囲内で考えなさい」が隠れています。
もし「y=log｜2x-1/2x+1｜を微分せよ」という問題だったら、「(2x-1/2x+1)がマイナスの場合も考慮せよ」となり、題意が変わってきます。

※質問者さんの書式に合わせましたが、y=log(2x-1/2x+1)は恐らくy=log｛(2x-1)/(2x+1)}の間違いでしょう。もしそうならy=log｜2x-1/2x+1｜もy=log｜(2x-1)/(2x+1)｜となります。

お礼

なるほど！絶対値がついたら　与式の真数＞0となるxの範囲ではなく全範囲ってことになるから、絶対値の中身＜0となるものも発生するから、場合わけが必要ってことですね。ありがとうございました！