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対数の性質について
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>logは真数になるために底をa乗したときのaであると理解していたのですが・・・・ そうです、では、それに従って考えましょうか。 logxの底はeですね。 rockman9さんの言葉から発展させていきます。 真数xになるために底eをa乗したときのaがlogX・・・(*) この(*)を数式で言い表してください。すると、こうなります。 まず「真数xになるために底eをa乗したとき」とは、 真数x＝e^a・・・(**) ということですね。そのaがlogxなんですから、a=logxを(**)に代入すれば、 x＝e^logx で、問題の公式になりましたね。 つまり、rockman9さんはご自分で答えを言いながら、その意味を認識していなかっただけですので、理解できていないのではなくて、理解しているご自分を認識していなかっただけです(笑) 問題の公式e^logx=xは、公式というか、eの定義式だと思ってもよいと思います。 この公式の理解の仕方として、他に2通り([1]と[2])示します。 [1]等式e^logx=xが成り立つことを示せという証明問題の立場で・・・ 左辺－右辺＝0 を示すことは、 log(左辺)-log(右辺)=0・・・・(※) を示すことと同値である（∵logxは単調増加関数）から、(※)が成り立つことを示す。 log(左辺)-log(右辺)=log(e^logx)-logx =logx-logx (∵log(e^b)=b 対数の基本的性質) =0 従って、(※)が成り立ったので、等式e^logx=xも成り立つ [2]逆演算の性質から ある関数fがあって、 y＝f(X)のとき、X＝g(y)・・・・(※※) であるような関数gを、fの逆関数という。 f(x)=e^xとすると、その逆関数gは、g(x)＝logxである。 なぜなら、y＝e^xのとき、x＝logyが成り立つからである。 fとその逆関数gは、(※※)より次の性質を満たす。 f(g(x))=x f(x)=e^xについて、この式を書くと、 f(g(x))=f(logx)=e^logx=x 問題としていた公式e^logx=xは、逆関数が満たす性質(※※)に他ならないということです。
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- frage
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ご質問にある log は、自然対数（底が e）であると解釈して説明します。そうでないと e^logX=X は成立しません。もし常用対数（底が 10）でお考えでしたら、理解が混乱しても無理はないと思います。（失礼がありましたらお許し下さい。） ◆次のように理解なさってはいかがでしょうか。分かり易くするため、常用対数の世界で考えます。 ◆今、X=1000 とします。そうすると、logX=log1000=3 となります。 ◆これをご質問の式の左辺にあてはめると、底が 10 で考えていますから、e に相当するのは 10 であることから、10^logX=10^log1000=10^3=1000=X となります。 ◆すなわち 10^logX=X になります。 ◆このことは、底が e である自然対数でもおなじです。 別の考え方もあります。 ●ご質問の式の両辺の自然対数を取ります。 ●そうすると 左辺：logX x log(e) 右辺：logX ただし、真ん中の x は掛け算記号です。 ●自然対数ですから log(e)=1 すなわち 左辺＝右辺 ●つまり e^logX＝X これでいかがでしょうか。お役に立てば幸いです。
お礼
非常に明快なお答えを頂きありがとうございます！ とてもわかりやすかったです！
- KENZOU
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蛇足ながら。。。 ｅを底とする対数を自然対数と呼んでいます。10を底とする対数は常用対数と呼ばれます。さて、底を[]で表すと log[e]A＝B (1) という関係は e^B＝A (2) となります（←対数の定義） 問題のe^logx=xの式（logの底はe）が成立するのかどうかをチェックしましょう。この式を(2)に当てはめると B=log[e]x、A=x (3) となりますね。これは(1)に戻ると log[e]x=log[e]x とおなって、確かに(2)が成り立っていることが解ります。
お礼
どうもありがとうございます！
- gator
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対数の定義そのものです。 すみません。 >logは真数になるために底をa乗したときのaである の意味がわからないのですが、 logの定義は、 底(ここではeですね)を何乗かするとXになる時の、「何乗か」が logXです。 したがって、eのlogX乗はまさに、Xなのです。 以上
お礼
どうもありがとうございます！
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お礼
おっしゃる通りです...自分で答えを言っててそれに気づかないとはまだまだ未熟です。 逆関数についても少し知識がついたのでよかったです！どうもありがとうございます！