解き方

質問

a,b,c,nは正の整数であって、次の等式が成り立つ。a+b+c=(n+1)^2,a+b=n^2,
b+c=(n-1)^2であるとき、a+cを6で割ったあまりが（ア）であり、さらにa+ｃがある整数の平方となるようなｎの最小値は（イ）である。

という問に僕はこの様に考えました。
a+b+c=(n+1)^2,a+b=n^2,b+c=(n-1)^2より
a=4n
c=2n+1なので
a+c=6n+1となり、これを６で割ると、商ｎ・余り１よって（ア）＝１
a+ｃがある整数の平方となるようなｎの最小値は
a+c=6n+1
n=1の時、７
n=2の時、１３
n=3の時、１９
n=4の時、２５
したがって、ｎ=４の時５の平方となるので最小値は（イ）ｎ=4の時である。

この解き方であっていますか？

回答No.1

noname#7269 · ベストアンサー

あっていると思います。

a+c=6n+1=k^2とおくと
n=(k+1)(k-1)/6となり、k+1とk-1はともに偶数か奇数
であるので、どちらかは６の倍数になります。
k+1=6xのとき、ｎの式に代入して整理すると
n=x(6x-2)
よってn=4,20,48・・・
ｋ－1=6xのとき、ｎの式に代入して整理すると
n=x(6x＋2)
よってn=8,28,60・・・
となります