重複組み合わせ？

質問

次の問題で、途中から解き方がわかりません。どなたか、おしえてください。
問：1～999までの整数のうち、各位の数の和が7の倍数となる整数はいくつあるか。

自分が考えた解き方です。
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1～999までの整数nは
n=100a＋10b+c (a,b,c=0,1,2…9 ;n≠0)
とおける。
a+b+c=7,14,21 になればよいから、
ⅰ)a+b+c=7 のとき
（ここで、重複組み合わせだと思い）
3Ｈ7=(3+7-1)Ｃ7=9Ｃ2=36
ⅱ)a+b+c=14のとき

ⅲ)a+b+c=21のとき
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ⅰ)と同じやり方では
ⅱ)ⅲ)のときはa,b,cが9より大きい場合の時も数えてしまうと思います。
ここから先はどのように解けばいいのでしょうか、また他の解法があれば教えてください。
お願いします。

回答No.1

whitedingo · ベストアンサー

Iの場合
(a,b,c)=(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)
計４通りの選び方があるので・・・
IIの場合
(a,b,c)=(1,4,9),(1,5,8),(1,6,7),(2,3,9),(2,4,8),
(2,5,7),(2,6,6),(3,3,8),(3,4,7),(3,5,6),
(4,4,6),(4,5,5)
計１２通りの選び方があるので・・・
IIIのの場合
(a,b,c)=(9,9,3),(9,8,4),(9,7,5),(9,6,6),(8,8,5)
(8,7,6),(7,7,7)
　計７通りの選び方があるので・・・
あとは、自分で計算してください。
この程度だと、このように書き出しても問題ないでしょう。それに、確実な方法です。

お礼

ありがとうございます。
この方が確実ですね。

回答No.2

kengon415

No.1さんので流れはよいと思いますが、書き出しが不十分です。各位において0があるので、

Iの場合→(a,b,c)=(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(4,3,0)があります。

IIの場合→(a,b,c)=(9,5,0),(8,6,0),(7,7,0)があります。

お礼

ありがとうございます。
計算結果が答えと合わなかったのですが、解決しました。