解決済み

85の倍数と87の倍数を足して3000に近い数

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  • 質問No.9435621
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お礼率 70% (19/27)

85の倍数と87の倍数を足して3000に一番近い数字を、簡単に出す計算方法というのはないでしょうか。
ひとつひとつ足していくのが一番早道なのかどうかを知りたく質問致しました。

ご回答どうか宜しくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.8

ベストアンサー率 39% (886/2226)

ご質問の趣旨は「85x+87y=3000 に近い正の整数x,yを求めよ」ということだと推察します。

まず85x+87y=3000 を満たす正の整数x,yは存在しません。これはグラフを描いてみれば一目瞭然です。(注)

また85x+87y-{85(x+1)-87(y-1)}=2 …(1)なので、xを1増やしyを1減らせば2刻みで変化しますので、和が3000に最も近いのは、
85x+87y=2999 または 85x+87y=3001 です。…(2)

3000/86=34.88…だから仮にx=18,y=17 とすると 85x+87y=3009 です。
(1)からxを1増やしてyを1減らせば85x+87yは2だけ少なくなります。

そこでxを4増やし、yを4減らせば、つまりx=22、y=13のとき85x+87y=3001
さらにxを1増やし、yを1減らせば、つまりx=23、y=12のとき85x+87y=2999 です。

(注)グラフを描かなくとも次のように考えればわかります。
85x+87y=3000 が成り立つとすればx,yがともに奇数かともに偶数である。
(片方が奇数で片方が偶数なら85x+87yが奇数になり題意を満たさない)

【ともに奇数のとき】
3000/86=34.88…だから仮にx=15,y=19 とすると 85x+87y=2924 ここで偶奇性を変えないためには
xとyを2ずつ増減させなければならず、85x+87y-{85(x+2)-87(y-2)}=4 であるので、4刻みで変化するが
3000-2924=76 は4の倍数ではないので和を3000にはできない。

【ともに偶数のとき】 仮にx=18,y=18 とすると 85x+87y=3096
3096-3000=96 96=4・24だから、和を3000にするにはx=66 y=-30 としなければならず題意を満たさない。
お礼コメント
footsteps38

お礼率 70% (19/27)

想像以上に沢山の方からの回答を頂けて、感謝の限りです。

色んな解き方といいますか解説を頂けた中で、質問の趣旨をまとめていただき、(個人の独断になってしまいますが)解き方を理解できたこちらをベストアンサーにさせて頂きました。

本当にみなさんありがとうございます!
投稿日時 - 2018-03-13 20:03:20

その他の回答 (全8件)

  • 回答No.9

ベストアンサー率 21% (101/479)

答えに近いかというのは当然の事で、速算の有り無しに聞こえましたが、楽しみながら解くのも面白いですね。本末もありますが、楽しみを忘れても面白くありません。

前述の方には偶数の場合で、最小公倍数に当てはまる場合は答えもそれに当てはまりますね!

自分は、あくまでも楽しみの範疇ですが…。

例えば、8000に88と64はたくさん組み合わせがあります。320、640、、、7680までの組み合わせとか!

どうぞ、これからも、楽しみながら解いてください。。
  • 回答No.7

ベストアンサー率 21% (101/479)

面白く解けないか?

という事で...

3000/87=34....⇒余り42
3000/85=35....⇒余り25
余りの合計は42+25で「67」

3000/4=750-67=683-87-85=「511」

511-1=510/85=「6」

6*4=24-1=「23」*85=1955

3000-1955=1045-1=1044/87=「12」。

87は12、85は23。トータル(87*12)+(85*23)=2999
  • 回答No.6

ベストアンサー率 43% (711/1621)

「85 の倍数 (=85x) と 87 の倍数 (=87y) を足し」て得られる「整数」を N とすれば、
 85x + 87y = N  … (1)
なる「一次不定方程式」を得る。

(1) にて N = 3000 として解いてみると、
特解 (例) :x0 = 129000, y0 = -126000
一般解:x = x0 - 87*k, y0 = y0 + 85*k ; (k は任意の整数)
を得る。このペアでは、k=1482 のとき x>0, y<0 、k=1483 のとき x<0, y>0 で、非負ペアは無い。

(1) にて N = 3001 として解いてみると、
特解 (例) :x0 = 129043, y0 = -126042
一般解:x = x0 - 87*k, y0 = y0 + 85*k ; (k は任意の整数)
を得る。この解ペアでは、k=1483 のとき非負解 x=22, y=13。

(1) にて N = 2999 として解いてみると、
特解 (例) :x0 = 128957, y0 = -125958
一般解:x = x0 - 87*k, y0 = y0 + 85*k ; (k は任意の整数)
を得る。この解ペアでは、k=1482 のとき非負解 x=23, y=12。

… など。
  • 回答No.5

ベストアンサー率 19% (1546/7819)

3000÷85=35 あまり25
3000に近づけるには、あまりの25をなるべく少なくするようにすればよい。
87-85=2
25÷2=12あまり1

85の総数35のうち、
12個を87に置き換えれば、3000に近い数字になる。
85が35-12=23
87が12
あまり1
  • 回答No.4

ベストアンサー率 51% (1631/3140)

3000÷85=35 あまり25
25÷(87-85)=12 あまり1
35-12=23
23×85=1955
12×87=1044
1044+1955=2999

22×85=1870
13×87=1131
1870+1131=3001

鶴亀算
  • 回答No.3

ベストアンサー率 64% (47/73)

あ、まちがえた。

> 2975 + 2 * 12 = 3000 + (12 - 12.5) / 2 = 2999
正しくは、2975 + 2 * 12 = 3000 + (12 - 12.5) * 2 = 2999 です。
  • 回答No.2

ベストアンサー率 64% (47/73)

87 - 85 = 2ですね。なので、

● 「倍数」というのを、負の倍数も許せば、例えば 85 * (-1500) + 87 * 1500 = 2 * 1500 = 3000となります。
● そうでなくて、非負の倍数しか許さないのであれば、まず丁度3000にするのは不可能なことがわかります。
というのも、x, yを非負整数、85x + 87y = 3000とすれば、 85(x+1500) = 87(1500-y)となります。ここで85と87は互いに素なので、ある(負かもしれない)整数zがあって、 x= -1500 +87z, y=1500-85zとなります。ここでx≧0とすると z≧18でないといけませんが、この時y≦-30となってしまいます。

ところで、さきほどもいいましたが、87-85 = 2です。そこで、3000 / 85 = 35.2... ですが、85 *35 = 2975です。(3000 - 2975) / 2 = 12.5ですので、 85 * (35 - 12) + 87 * 12 = 2975 + 2 * 12 = 3000 + (12 - 12.5) / 2 = 2999、整理すると 85 * 23 + 87 * 12 = 2999となります。
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