整式の公約数・公倍数について

質問

二つの整式8abcと12acdの最大公倍数と最小公倍数はそれぞれ4acと24abcdではないのでしょうか？問題集の解答欄には文字だけで４とか２４の数字（係数）が付いてないのですが、どうしてでしょうか？教えてください。

回答No.5

waseda2003 · ベストアンサー

tonarino-mooさんの解答と問題集の解答
のどちらも正解です。
整式の倍数・約数を考えるにあたっては，
０でない定数倍を同一視して考えるからです。
どちらでもいいということになると，
係数を１にしておく方が標準的というだけです。

混乱の原因は，前提となる基礎の部分を考慮しなか
った点にあると思います。整式の倍数・約数・整除は
どのように定めたかといえば，「整数と同じように」定
めたはずです。そして，その基礎にあるのは

任意の整式A，B≠0に対して
　　　A = BQ+R，(Rの次数)<(Bの次数)
を満たす整式Q，Rが（一意に）存在する

という定理でした。この定理が成り立つ前提がないと，
「整数と同じように」は定義できないわけです。

そこで問題となるのは，「係数を（除法について閉じて
いない）整数に限定すると，整除（割り算）ができない
A，Bの組合せが出てきてしまう」という点です。また，
ひと通りに定まらないという点も不都合です。

そこで，整式を「整数と同じように」と言い出した瞬間
から，「係数は有理数または実数（のように加減乗除
について閉じた世界）で考え，０でない定数倍は同一
視する」という前提で考えたのでした。
これは，整数の世界では±１以外に（整数の中では）
逆数は存在しませんが，有理数や実数の世界では
０以外は自身の中に逆数をもつので，倍数・約数の
概念がなくなってしまうことを意味します。

お礼

教えてくださってありがとうございました。

回答No.7

quantum2000

Ｎｏ．４，６，７，８ さんのご指摘のとおりでよいかと思います．

例えば，２つの整式　８ａｂｃ　と　(12/5)ａｃｄ　を考えると，
これらの整式の最大公約数は，いくつでしょうか？

変数部分の最大公約数は，もちろん　ａｃ　でしょう．
では，定数(係数)部分の最大公約数? は？？？

それはもちろん，整数８ と分数(12/5) の公約数なんて考えられませんから，
定数部分の最大公約数はありません．

ですから，こうした場合，２つの整式の最大公約数は　ａｃ　である，
ということだと思います．

こうしたことが，整式について一般的に言えることです．

しかし，「元々のご質問」にあるように，たまたま係数が整数同士（例えば，８ と １２）
の場合は，
その定数部分まで考えての最大公約数を考えることもできる，（例えば，４ａｃ のように）
といったことなのではないでしょうか？

お礼

回答いただいてありがとうございました。

回答No.6

ojisan7

>問題集の解答欄には文字だけで４とか２４の数字（係数）が付いてないのですが、どうしてでしょうか？

ということですが、どちらでも正解です。係数をつける必要はありません。
高校では、たぶん詳しくは説明されなかったかと思いますが、整数（有理整数）と整式の類似点と違いをはっきりさせたほうが、今後の勉強のためには良いと思います。
整数の割り算の性質は、任意の整数a,bに対して
a=qb+r （0<=r<=b)
となる整数ｑ,rが一意に存在します。
整式についても、任意の整式F,Gに対して
F=QG+R (0<=deg(R)<=deg(G)) (degは次数）
となる整式Ｑ，Ｒが一意に存在します。
したがって、整数の世界の素数には、整式の世界での規約多項式が対応します。整数の１（御存知のように、これは素数ではありませんね）には、次数０の整式つまり、定数が対応するのです。ですから、例えば、3x+6を因数分解するのに3(x+2)としたのでは、因数分解したことになりません。3x+6はすでに規約な整式です。このばあい３は整数の世界で言えば１に相当するものだからです。

お礼

答えてくださってありがとうございました。

回答No.4

debut

No1です。
　私の持っている問題集（かなり前のですが）にありました。
　「整式の最大公約数・最小公倍数については、一般に数因数は無視して
　　考えるが、整数係数の整式では数因数を考慮してもよい」
　ということでした。
　この「一般には・・・」ということなのでしょう。

　「因数は最大限出せ」（とならった）とばかり思い込んでいました。
　問題集の解答が一般的ということなのですかね。

お礼

早速にお手元の問題集を出して回答して下さって、ありがとうございました！

回答No.3

quantum2000

整数の場合の(素)因数分解や最大公約数，最小公倍数の場合と違って，
整式の場合は，係数(定数)部分は無視して考えるのが正式，と聞いたことがあります．

例えば，
６ｘ－１８ ＝ ３（２ｘ－６）　と変形したのでは、因数分解になっていない！？
というようなことなのです．

すると，ご質問の問題の解答は，
最大公約数は ａｃ ，最小公倍数は ａｂｃｄ　
となります．

ではなぜ，定数部分は無視するかというと，
例えば方程式で考えると，２つの方程式
２ｘ－６ ＝ ０　と　３（２ｘ－６） ＝ ０
の解は互いに同じなので，
そういう意味で，２つの整式
２ｘ－６　と　３（２ｘ－６）
は「同じ」整式（因数としては同じものしか持たない，定数は因数ではない）
という訳です．

ですから，ご質問のケースで言うと，例えば
答の最大公約数は，ａｃ，２ａｃ，３ａｃ，・・・など，どれもみな同じ，という感じなのです．

そこで，答としては最も簡素な ａｃ を書く，
ということなのではないでしょうか？
違っているかもしれませんが・・・

それでも，分数式の通分などでは，定数部分も考えて通分するのが普通ですから，
(1) 元々の問題は，どういう類の問題なのでしょうか？
　　例えば，中学や高校の数学の問題なのか，それとも・・・
(2) 他にも似たような問題が載っていませんか？
　　その答えも，同じような解答になっていますか？

以上，不確かな「回答」でかえって混乱させたかもしれませんね！？
すみません！！

お礼

回答くださってありがとうございます。

回答No.2

syuwatch

それだけでは解けません。
ほかに条件はありませんでしたか？

回答No.1

debut

＞それぞれ4acと24abcdではないのでしょうか？

　これで正解です。問題集の解答が間違えかな？

問題は「整式８ａｂｃと12ａｃｄの最大公約数と最小公倍数を求めよ」
でいいんですよね？