３つの数の最小公倍数の求め方について

質問

３つの数の最小公倍数を求めるのに、筆算を下向きに書いていく方法がありますが、
その方法の解説に、「最低2つ割れれば割って良い。割れなかった数はそのまま下ろす。」
とありますが、最低1個でも割れれば割るという方法でも答えは出せる気がします。
最低1個でも割れれば割る　という方法でやるのは間違いなのでしょうか。
ただ単に煩雑になるからというような問題でしょうか。

また、数を割っていくときに、素数の小さい数から割るより、3つとも割れる数から割るほうが良いのでしょうか。

中学数学の範囲で教えて下さい。

2) 48　36　90
──────
2) 24　18　45
──────
2) 12　 9 　45
──────
2)　6　 9　 45
──────
3) 3　 9　　45
──────
3)　1 3 15
──────
　　1　 1　　5

2×2×2×2×3×3×5=720
最小公倍数は720
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2)　60　45　30
──────
2)　30　45　15
──────
3)　15　45　15
──────
5) 　5　15　5
──────
1 3 1

2×2×3×5×3＝180
最小公倍数は180

回答No.10

alice_44 · ベストアンサー

一個でも割れたら割る方式の旗色が悪いけれど…
解法の原型は、むしろ一個でも割る方式だと思う。
何より、アルゴリズムの記述が簡潔になる。

[1] 随意に選んだ素数 p について、並んだ各数が
p で割り切れれば商で置き換え、割り切れなければ
そのままにしておく。割り切れた数が一個でもあれば、
p を別の場所に書き留める。
[2] それを、並んだ数が全て１になるまで繰り返す。
別の場所に書き留めた p を総て掛け合わせると、
最初に並んでいた数の最小公倍数になる。

ナゼこの方法で最小公倍数が求まるのか？の説明も、
一個割を認めない方式より簡単。
これに比べると、二個以上が割れたら割る方式は、
筆算を僅かに短縮するための小技でしかない。

割る数 p が素数でなくてはいけないことは、
[1] で、割り切れる場合だけ商で置き換えることに
由来している。

例えば、6, 12, 9 を p=6 で割ろうとすると、
次段は 1, 2, 9 となって、9 が放置されるが、
p=2 と p=3 の二回に分けて割ると、
p=3 の回に 9 が割れて、次段は 1, 2, 3 となる。
上記の解法としては、後者の扱いが正しい。

まとめて積で割ると、割る数の素因数で割れることが
無視されてしまうので、うまくいかない。

お礼

ご回答有難うございました。
お礼が遅れすみません。。
1個でも割っていい派の回答が得られ嬉しいです。
もう少し自分でもよく考えてみます！

回答No.9

Quattro99

もうわかっているかも知れませんが、2つの数の最小公倍数を求める場合で考えればわかりやすいと思います。
7と8の最小公倍数を求める場合に、8を2×2×2にする必要はありませんよね？
最小公倍数を求めることが目的の場合、１つしか割ることが出来ない場合に割るのは意味がないということです。
「互いに素」という言葉を聞いたことはありませんか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなりすみません。。
すみませんいまいちわかりませんでしたorz
1個で割るのは意味がないが2個だと何故意味があることになるのか
あまりよくわかっていませんね；

回答No.8

j-mayol

＞確かにそのような解説をどこかで見たような気もしますがあまりピンときませんでした・・・。
以下の例の場合
48=2^4*3
36=2^2*3^2
45=3^2*5
3つの数を素因数分解した結果、2,3,5という3種類の素数の掛け算の形に分解できる。最小公倍数は分解した2，3，5それぞれの素数のうち指数が大きいもの、(例えば2であれば2^4と2^2があるので指数が大きい2^4)を選んで掛け合わせたものになる。結果として2^4*3^2*5=16*9*5=720が最小公倍数となる。なぜこのようになるのか考えると、最小公倍数720の側から考えれば48、36、45はすべて約数とならねばならないからである。（イメージできないときは720を分子3つの数をそれぞれ分母とする分数を考え、約分して分母が1になるか考えてみましょう）
逆に最大公約数は、3つの数に共通する素数のうち指数が小さいものを掛け合わせればよい。上記例だと３となる。

お礼

解説ありがとうございました。
返事が遅くなりすみません。。。
考えてみましたが、48，36，45がすべて720の約数になるのは分かったのですが
それがどのように指数の大きいものを掛けることにつながるか分かりませんでした＞＜

回答No.7

maiko0318

No5です。
＞最小公倍数は 720 じゃないんでしょうか＞#5.

だからまちがうと。

回答No.6

Tacosan

最小公倍数は 720 じゃないんでしょうか＞#5.

全てを割り切るなら素数じゃなくてもいいんだけどね....

お礼

ありがとうございます。
全てが割れる場合は素数じゃなくても良い・・・・ということなんですね！
なぜそうなのかはまだよく考えないと分からないですが；考えてみます。

回答No.5

maiko0318

No1です。
＞素数で割らなくても良い場合もある
は、間違っています。

あなたのでやってみましょう。

2) 48　36　90
──────
2) 24　18　45
──────
2) 12　 9 　45
──────
2)　6　 9　 45
──────
9)　3　 9　　45
──────
　　3　 1　　5

2×2×2×2×9×3×5=2160
最小公倍数は2160になります。

お礼

ご回答有難うございます。
やはり素数が無難でしょうかね・・・

このサイト
http://ameblo.jp/taku-spi/entry-10710810552.html

の下のほうにある動画
http://www.youtube.com/watch?v=r-hHjIiaFYU&feature=player_embedded

を見て素数でなくても良い場合があるらしいと書きました。
どのような数字ならこの動画のように素数以外でできると判断できるのか
今ちょっと考えてみたところではよくわかりません…

回答No.4

j-mayol

ごめんなさい。ミスしてました。
出てくるすべての数で係数の大きいものを取って掛ける
↓
出てくるすべての数で指数の大きいものを取って掛ける

ですね。
これなら伝わると思います。伝わらないときは再度補足してください。

お礼

再度ご回答ありがとうございます！
確かにそのような解説をどこかで見たような気もしますが
あまりピンときませんでした・・・。
先程の例でもよくわからずでorz

回答No.3

omekoijirou

やいやいやいっ！権権屋、てめえ、　普通の回答者はだませても、この遊び人の金さんの目は誤魔化されねぇぜ！
　貴様の言うように「最低1個でも割れれば割るという方法」なら、

2) 48　36　90
──────
2) 24　18　45
──────
2) 12　 9 　45
──────
2)　6　 9　 45
──────
3) 3　 9　　45
──────
3)　1 3 15
──────
　　1　 1　　5で終わりじゃなくて、更に
5) 1 1 5
──────
　　1 1 1　ここまでやらなくては、「最低1個でも割れれば割るという方法」にはならないだろうがっ！
　と言うことは、不要な計算でノートをたくさん使うってことになるのさ。

　裁きを申し渡す。
　権権屋権兵衛、その方の思いつきは一見目新しいようにも見えるが、算学を志す者を惑わす猿知恵に過ぎず、所詮先人の知恵には遠く及ぶ物にあらず。よって奉行は権権屋権兵衛に教科書百編読み返しを命ずる物である。
　これにて一件落着っ！

回答No.2

j-mayol

最低1個でも割れれば割るという方法でも答えは出せる気がします。
割らなかった場合の結果と見比べれば、答えが出せることには納得できるのではないかと思います。
上の例で言えば、2で割らなかった分、最下段の左の数字が１から２になるだけです。
素因数分解を用いて最小公倍数を求める場合「出てくるすべての数で係数の大きいものを取って掛ける」という結果になるので（下の例参照）
48=2^4*3
36=2^2*3^2
45=3^2*5
この場合最小公倍数は2＾4*3＾2*5
一つだけしか割れないもので割ったとしても問題はありません。ただ、このルールを徹底するなら上の例では５、下の例では３で最終段を割る必要がありますね。このように計算する行が増加する欠点があります。
「3つとも割れる数から割る」のは最大公約数も同時に求めることを考えると有効だからでしょう。最大公約数の場合はすべての数を割ることができる数字を掛け合わせたものとなります。

お礼

ご回答有難うございます！
1つで割っても問題ないんですね。
最後の行については、最終的に最小公倍数を出すための組み合わせが分かればよいので省きました。
この判断に何か問題があれば教えて下さい・・・

一般的に、2つ以上割れれば割っても良い（だから1つしか割れない場合は割ったらダメ）のような
解説になっているので、なぜ2つ以上でないといけないのかという点が引っかかり質問しました。
厳密には2つ以上割れる数で割ると良い、といったところでしょうか・・・。
ただ「出てくるすべての数で係数の大きいものを取って掛ける」というのがちょっとわかりませんでした。。
もし宜しければ詳しく教えて下さい；

回答No.1

maiko0318

＞最低1個でも割れれば割る
やってみましょう。1段階意味のない段ができませんか？

＞3つとも割れる数から割るほうが良い
問題はありませんが、「素数」で割ってくださいね。答えが変わってしまいます。

お礼

ご回答有難うございます。
一段意味のない段ができるというのがどういうことか分かりませんでした。。
意味のない段とはどのような感じでしょうか・・

素数で割る以外にもっと大きな数で割る方法も有るようですが、
どういう基準でその数を決めればよいかがまだはっきりしてません；
素数で割らなくても良い場合もあるのですよね・・
素数で割れば確実ということでしょうか。