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「5の倍数+11の倍数」で作れない数字
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- tshmsg63
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具体例で見ていくと分かりやすいと思います。 例えば、 156の場合 156-11×6 = 90 90は5の倍数なので、可能。 119の場合 119-11×9 = 20 20は5の倍数なので可能。 このように、11に1の位の数を掛けた数を引くと、残りが5の倍数になるので、5x+11yにすることが可能です。 1の位の数は1以上9以下(5以外)としてよく(そうでない場合は自明ですから)、11に1の位の数を掛けた数は最大でも99なので、元の数が3桁以上の時は必ず、上記のような数を引くことができ、残りを5の倍数にすることが出来ます。 従って求める数は2桁以下としてよい。 98の場合 98-11×8 = 10 (=5の倍数) 74の場合 74-11×4 = 30 (=5の倍数) このように、元々1の位の数よりも10の位の数の方が大きい場合は必ずうまくいくことは自明ですが、次のような場合はうまくいかないので、まず5を先に引きます。 68の場合 11×8は引くことが出来ないので、まず5を引く。 68-5 = 63 次いで同様に、 63-11×3 = 30 (=5の倍数) このように、1の位の数を相殺する方法に2通りありますが、そのいずれでもうまくいかない数が求める数で、 a)「元々1の位の数が10の位の数より小さい」 b)「1の位の数が10の位の数より大きくても、5を引くことで1の位の数が10の位の数以下になる」 のどちらも満たさない数です。10の位の数が4以上なら必ずこのどちらかを満たすことはすぐに分かりますので、求める数は39以下でなければなりません。39を実際に見てみると、 39-5 = 34で、この4を消すためには11×4を引かなければならないが、元の数を超えるので引くことが出来ない。さらに5を何度引いても、1の位は4、9の繰り返し(10の位の数より大きい)で状況は変わらない。 以上から、39が答えであることが分かります。
- koko_u_
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>「x,yは自然数」というべきでしたね。すみません。 念のために言うと、「5 の倍数」と言った場合、 普通は負数の倍(-5, -10, ...) も含みます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
単純に 5x + 11y = n を解いて、解が自然数の範囲に収まるかを考えれば良いだろう。 先に指摘したように 5*(-2) + 11*1 = 1 だから 5(x+2n) + 11(y-n) = 0 5 と 11 は互いに素だから、整数 k をもって x = 11k - 2n y = -5k + n ここで x ≧ 0, y ≧ 0 とすると (2n)/11 ≦ k ≦ n/5 この範囲に整数 k が存在するような n の範囲を求めるだけです。
- k_maisan
- ベストアンサー率58% (14/24)
No.3です 「以下」と「未満」の使い方を数カ所間違えています。 考え方は示したとおりです。
- k_maisan
- ベストアンサー率58% (14/24)
No.1,No.2さんのご指摘通りです。 5x+11yという条件で作れる整数ですが 「x,yは整数」…どんな数字で作れます 「x,yは自然数」…55 「x,yは0以上の整数」…39 たぶん最後のを質問されていると思います まず、大きい数11に対して、小さい数以下の積を考えます。 11*0 = 0 11*1 = 11 11*2 = 22 11*3 = 33 11*4 = 44 ここで、ある大きな整数があったとして 5で割り切れる数字(45など)…11*0+5*○ 5で割って1余る数字(46など)…11*1+5*○=11+5*○ 5で割って2余る数字(47など)…11*2+5*○=22+5*○ 5で割って3余る数字(48など)…11*3+5*○=33+5*○ 5で割って4余る数字(49など)…11*4+5*○=44+5*○ となります。 つまり、 0以上の5の倍数 11以上の5で割って1余る数 22以上の5で割って2余る数 33以上の5で割って3余る数 44以上の5で割って4余る数 は表せられます。 では、「作れない数字の最大値」は、いちばん大きい数が条件にある「44以上の5で割って4余る数」を見て、「44以下の5で割って4余る数の最大」と考えます。 答えは39…というふうに考えればいいと思います。
お礼
早速の詳しいご回答、ありがとうございます。 ぱっと見てすぐ理解できない頭の弱さなので、じっくり読み直しながら理解するようがんばってみます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>数式的には「5x+11y」になると思います。(x、yともに整数) x, y は自然数の誤りか? 整数なら 5*(-2) + 11*1 = 1 だから、あらゆる整数が作成可能だ。
補足
あ、そうですね。 「x,yは自然数」というべきでしたね。すみません。
- aiueo95240
- ベストアンサー率39% (15/38)
問題設定に不備があります。 すべての整数が5x+11y(x、yともに整数)で表すことができます
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