証明 - ９の倍数

質問

前振り：ＡＭラジオの周波数って、９の倍数なんですってね。ほんとだなぁ‥‥ところで、
質問：５９４、５＋９＋４＝１８で９の倍数ですね、
６９３、６＋９＋３＝１８、９の倍数ですね。
２桁以上の９の倍数って、それぞれの位の数字を足すと９の倍数になってますけど、

証明ってどうやったらスマートでしょうか？

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

gattoneroさん、こんばんは。

＞ＡＭラジオの周波数って、９の倍数なんですってね。ほんとだなぁ‥‥

ほんとだ！すごい発見？ですね。
さて、

＞２桁以上の９の倍数って、それぞれの位の数字を足すと９の倍数になってますけど、
証明ってどうやったらスマートでしょうか？

そうですね、ちょっと難しいけど、
「９で割った剰余系」で考えていくのがいいと思います。
剰余系というのは、「余りによって分けたグループ」ということです。
９で割ったとき
割り切れるもの・・・０グループ
１余るもの・・・・・１グループ
２余るもの・・・・・２グループ

・・・
８余るもの・・・・・８グループ

のように、９で割った余りは、９つのグループに分かれます。
さて、このことを利用すると、簡単にスマートに証明できますよ。

９の倍数＝９で割ると０余る＝０グループ

ですが、ある数字xが９で割れることを

x ≡ 0 mod 9

のようにかきます（９で割ったときに、余りは０のグループ、という意味）

ここで、２桁の整数
１０の位　１の位
　　　x　　　y

という整数を考えるとこれは、10x+y
とかけます。

10x+y＝９ｘ＋（ｘ＋ｙ）なのでこれが９の倍数だとすると
１０ｘ＋ｙ≡０　mod 9
10x+y=9x+(x+y)≡x+y≡0 mod 9
となるので、x+yも９の倍数だと分かります。
つまり、各位の数の合計も９の倍数です。

同様に３桁のときも

千の位　百の位　１の位
　　x　　　y　　　z

とすると、この整数は
100x+10y+z
とかけます。これが９の倍数だとすると
100x+10y+x≡0 mod 9
ただし
100x+10y+z=(99x+9y)+(x+y+z)≡x+y+z≡0 mod 9
　　　　　　　↑
この９９ｘ＋９ｙは明らかに９で割り切れる

となるので、x+y+zもまた、９の倍数だと分かるんですね。
ご参考になればうれしいです。

補足

fushigichanさん、こんばんは。
剰余演算子を使うのですね。ナール！
別に質問をあげようかと思っていた別の案件も、それで説明できますヮ、すなわち、
「６５４が９の倍数なら、ボックス（４５６も４６５も、５４６も５６４も、６４５も）みんな９の倍数。なんでだろう？」
というのも、x+y+zが９の倍数である、と証明されているので、
x+z+y、y+x+z、y+z+x、z+x+y、z+y+x、いずれも同じこった、
ということですね。

エウレーカ気分です、ありがとうございます。

回答No.3

gongqi

10は9+1、100は99+1、1000は999+1...と考えましょう。ある3桁の数[abc]を考えると、10^2桁目aｘ(99+1)、10^1桁目bｘ(9+1)、10^0桁目cｘ(0+1)の合計です。この値は9ｘ(11a+1b)+a+b+cになります。第1項は9の倍数ですから、第2,3,4項の和が9の倍数であれば、[abc]は9の倍数です。同様に4桁の数[abcd]は9ｘ(111a+11b+1c)+a+b+c+dで第1項以外のa+b+c+dの和が9の倍数かどうかを確かめればよい事になります。5桁であれば9ｘ(1111a+111b+11c+1d)+a+b+c+d+e。スマートかどうか判りませんが、一応証明になっていると思います。

補足

gonggiさん、こんばんは。
質問しておいてなんですが、これ、回答も難しいですね、
#2さんの案が一番納得いったので、ポイント贈答したいと思います。
またよろしくお願いします。ありがとうございました。

回答No.1

ymmasayan

ラジオということで４桁で。４桁をＫＬＭＮとします。
K×1000＋L×100＋M×10＋N
＝K(999+1)＋L(99+1)＋M(9)＋N
ここで9の倍数を消すと
答えはK+L+M+Nになります。

ところで、ラジオの周波数は昔は10の倍数でした。発展途上国の周波数の要求が激しく、結局９の倍数にして局数を増やしたのです。

補足

一番回答ありがとうございます。
ymmasayanさんもトリビアなねたをお持ちですね（昔は10の倍数だった）
ところで、1000K+100L+10M+Nの９の剰余がゼロの時、
K+L+M+Nの９の剰余もゼロである、ということの照明に
‥‥まだなっていない気がします‥‥ごめんなさい、私の理解が浅いのかな。
もうちょいと「ほら、こうなっているでしょう♪」という形にならないかなぁと思います。
もっと具体的に言うと、私が人に説明できるほどには噛み砕けていないのです、もう一声なんとかなりませんでしょうか。