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困っています。数学の証明問題です。

困っています。数学の証明問題です。 問題:3ケタの整数で3の倍数になるものは各くらいの数字の和が3の倍数になるのですが、どうしてそうなるのか証明して頂けませんか???

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  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.3

再びお邪魔します。 すみません。証明のしかたが、あべこべでした。 3桁の自然数Nの百の位の数字をa、十の位の数字をb、一の位の数字をc と置く。 Nは3で割り切れるので、自然数nを用いて N = 3n と置ける。 N = 100a + 10b + c  = 99a + 9b + a + b + c  = 3(33a + 3b) + (a + b + c) 3n - 3(33a + 3b) = a + b + c 左辺は3の倍数であるから、右辺も3の倍数でなければならない。

yuuumiin
質問者

お礼

数学音痴の私でも分かる解答に感謝感謝です。

その他の回答 (2)

  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.2

こんにちは。 数学の面白いところの一つなので、人に頼るのはもったいないですね。 3桁の自然数Nの百の位の数字をa、十の位の数字をb、一の位の数字をc と置く。 a+b+c が3の倍数であるとき、整数mを用いて a+b+c = 3m と書ける。 N = 100a + 10b + c  = 99a + 9b + a + b + c  = 99a + 9b + 3m  = 3(33a + 3b + m) 33a + 3b + m は整数であるので、 3(33a + 3b + m) は3の倍数。 よって、Nは3の倍数。 以下は、興味があったら読んでください。 私の過去の投稿からの抜粋です。 ------------------------------------- 実は、それより簡単なのが、 「各桁の数字の和が9の倍数ならば、9で割り切れる」 です。 1の位の数字をa0、10の位の数字をa1、100の位の数字をa2・・・ と置けば、 元の数 = Σ(an×10^n)  = Σ(an) + Σ{an×(10^n - 1)} (anは、マイナスでない任意の整数) (n=0~+∞) ところが、10^n から1を引くと、必ず9だけが並んだ自然数(ただし、n=ゼロのときだけはゼロ)になります。 これは、必ず9で割り切れます。(商は、1が並んだ自然数になります。) したがって、 元の数 = Σ(an) + 9の倍数 だから、各桁の数字の合計 Σ(an)も9で割り切れれば、 元の数 = 9の倍数 + 9の倍数     = 9の倍数 となって、元の数も9で割り切れます。 Σ(an)が9で割り切れなくても、3で割り切れれば、 元の数 = Σ(an) + 9の倍数     = 3の倍数 + 3×(3の倍数) だから、「9で割り切れる」の方を先に考えるほうが、順序として合理的で、かつ、簡単なんですよ。 ちょっと補足しておきます。 この問題は、10進法なので、 「和が9の倍数なら、元の数も9の倍数」 「和が3の倍数なら、元の数も3の倍数」 になります。 9進法ですと 「和が8の倍数なら、元の数も8の倍数」 「和が4の倍数なら、元の数も4の倍数」 「和が2の倍数なら、元の数も2の倍数」 8進法ですと 「和が7の倍数なら、元の数も7の倍数」 7進法ですと 「和が6の倍数なら、元の数も6の倍数」 「和が3の倍数なら、元の数も3の倍数」 「和が2の倍数なら、元の数も2の倍数」 このようになりますよ。 「N進法のNより1個小さい数」から考えるのが、一番考えやすいです。

yuuumiin
質問者

お礼

力作ありがとうございました。

回答No.1

過去に同様の質問、枚挙にいとまないですが… 3桁の整数=[abc]と表記すると, [abc]=100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c) 右辺第1項は3の倍数 よって、[abc]が3の倍数であれば, 右辺第2項即ち各桁の和も3の倍数。

yuuumiin
質問者

お礼

完結なお答えお見事です。ありがとうございました。

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