固有空間と次元について

質問

(V(α)の次元)≦(C^nの次元)となるのはなぜですか？

命題4.1.5, 2)
Pが正則⇒φ(P^(-1)AP; x)=φ(A; x)

回答No.3

tmppassenger

何度も言いますが、V(a)がC^nの部分空間であるから、V(a)には基底がある、ということが言える。V(a)が部分空間ではない、良く分からない勝手なC^nの部分集合だったら、そもそも「基底」なるものが取れない。
V(a)には基底があるから、よってその基底をp1, p2, ..., pdとおくと、これらは「V(a)の中で」一次独立（基底の定義から）。で、V(a)での演算とC^nでの演算が同じだから、p1, p2, ..., pdは「C^nの中でも」一次独立、という訳です。

細かく言えば、p1, p2, ..., pdは「C^nの中でも」一次独立である、というのは、Σ(1≦j≦d) cj pj = 0 → cj = 0 (j = 1, 2. ..., d)を示すということですが、ここでの和と、スカラー倍は、C^nにおける演算です。ですが、V(a)は、C^nで定義された和、スカラー倍に関して、C^nの部分空間となっている、従ってΣ(1≦j≦d) cj pj = 0 というC^nにおける演算は、V(a)における演算としても考える事ができるから、従って<p1, p2, ..., pd>はV(a)で一次独立だからcj = 0 (j = 1, 2. ..., d)となる、という訳です。細かいですが。

お礼

V(a)がC^nの部分空間である必要はないと言っているのではなく、今の論点、「C^nの部分空間V(a)の基底がC^nでも一次独立になる根拠は何か」で、その根拠が部分空間ではないと思う、と言っているのですが。

演算についてですが、(さっきも言いましたが) V(a)やC^nが同じ型の行列を元にとる集合である時点で、和やスカラー倍が定義されているのでは？

回答No.2

tmppassenger

V(a)をaに属する固有「空間」とする、というように、V(a)がC^nの部分ベクトル空間になっているから、V(a)の基底とか考えているのですよ？ V(a)がC^nの部分ベクトル空間であることは、多分既に証明されている事だと思いますが（絶対前に書いてあるはずですが）、それはいいですよね？

で、V(a)はC^nの部分ベクトル空間だから、V(a)における2ベクトルの和、スカラー倍の演算は、C^nの中で考えたものと同じになっている。だから、V(a)の基底は、V(a)の一次独立集合だから、C^nの一次独立集合でもある、というわけです。

お礼

V(a)の基底はC^nにおいても一次独立になっていることを説明するためには、V(a)の基底の任意の元が、C^nの元に存在することが言えればいいと思い、部分集合のほうがいいのではないかと思いました。

部分空間V(a)の和とスカラー倍の演算が同じだから、V(a)の基底はC^nでも一次独立という論理はおかしくないですか？

和やスカラー倍は行列で定義されたもので、V(a)やC^nが同じ型の行列を元にとる集合である時点で、和やスカラー倍が定義されているのであって、
部分空間はその元の和やスカラー倍を定義したものではなく、その元の性質を述べたものではないでしょうか？

回答No.1

tmppassenger

それは、https://okwave.jp/qa/q9420370.html の議論を見直せば分かると思います。
つまり、V(a)はC^nの部分空間なので、V(a)の基底はC^nにおいても一次独立になっているわけですが、https://okwave.jp/qa/q9420370.html の議論を使うと、C^nで一次独立なV(a)の基底から始めて、それまでの一次独立集合の一次結合でかけない元を、どんどん付け加えていくことによって、C^nの基底を作る事が出来る、ということですね。

お礼

細かいかもしれませんが、部分空間だからではなく部分集合だからですかね？