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4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。 a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4]) b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4]) c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4]) d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4]) とします。 これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。 各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。 4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式 |a↑ b↑ c↑ d↑|≠0 4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、 a↑∥b↑∥c↑∥d↑ a[1]:a[2]:a[3]:a[4]=b[1]:b[2]:b[3]:b[4]=c[1]:c[2]:c[3]:c[4]=d[1]:d[2]:d[3]:d[4] (a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])=(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4]) =(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])=(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4]) このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか? 4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか?

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失礼しました。 とすると、 rankA=4 |A|≠0 rankA=3 Aの3次小行列式の中に0でないものがある。      かつ、|A|=0 rankA=2 Aの2次小行列式の中に0でないものがある。      かつ、3次小行列式がすべて0かつ|A|=0 rankA=1 Aの1次小行列式の中に0でないものがある。      かつ、2次小行列式、3次小行列式が0、かつ|A|=0 任意のr次小行列式を|Ar|で表しても、 rankA=1のときは、 a1*a2*a3*a4*b1*・・・*d3*d4≠0 かつ |A2|=|A3|=|A|=0(|A2|は36通り、|A3|は9通り) |A2|=0の条件だと、4×4の成分をaijと書いて、 Σ[i=1,3]Σ[j=2,4,i<j]Σ[k=1,3]Σ[l=2,4,k<l]|(aik*ajl-ajl*aik)|=0 とでも表記できますが、 1つのイコールではちょっときついんではないでしょうか?

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質問者からのお礼

まことにありがとうございます。 行列が一つ与えられたとき、その値が 0 でないような小行列式の最大サイズは行列の階数に一致することを利用すればいいのですね。 rankA=4のとき、 |A|≠0 これは、|A|^2>0と同値でもありますね。 rankA=3のとき、 Aの3次小行列式の中に0でないものがある、かつ、|A|=0 ここで、0でないものがあるということは、それぞれを2乗したものの和が正と同値でもありますね。 rankA=2のとき、 Aの2次小行列式の中に0でないものがある、かつ、3次小行列式がすべて0、かつ、|A|=0 ここで、3次小行列式がすべて0だったら、余因子展開により自動的に、|A|=0は満たされますね。 ここで、すべて0ということは、それぞれを2乗したものの和が0と同値でもありますね。 rankA=1のとき、 Aの1次小行列式の中に0でないものがある、かつ、2次小行列式、3次小行列式が0、かつ|A|=0 ここで、2次小行列式がすべて0だったら、余因子展開により自動的に、すべての3次小行列式が0、かつ、|A|=0は満たされますね。 ついでに、rankA=0のとき、 Aの1次小行列式がすべて0 本当にありがとうございました。

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  • 回答No.1

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0 行列の階数(ランク) rankA=1,2,3,4 で表せばいいのではないでしょうか。

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質問者からのお礼

すみませんが、質問に書きましたようにそれは既知です。

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