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質問

A = (0, 0); B = (3, 0); C = (1, 2) なる　△ABC について;
∠Aの二等分線とBCとの交点をD, ∠Aの外角のニ等分線とBCの延長との交点をE とする。
Dの座標は　( , ) で　E の　座標は　( , )
DEの中点をＯとする時, Ｏ の　座標は　( , )である。
<---各　●穴に正しい数を挿入●　願います。

(1)ＯB・ＯC=ＯD^2が成り立つ事を証明せよ。
(2)ＯB：ＯC＝AB^2：AC^2が成り立つ事を証明せよ。

回答No.1

jcpmutura

A=(0,0);
B=(3,0);
C=(1,2)なる
△ABC について;
∠Aの二等分線とBCとの交点をD,
∠Aの外角のニ等分線とBCの延長との交点をE とする。
B-C=(3,0)-(1,2)=(2,-2)
だから
BCの傾きは
-2/2=-1
で
BCはB=(3,0)を通るから
BCの式は
y=-(x-3)=3-x…(BC)

∠BAC=t
とするとACの傾きは
tant=2
(sint/cost)^2=4
1=5(cost)^2
(cost)^2=1/5
cost=1/√5

{tan(t/2)}^2
={sin(t/2)}^2/{cos(t/2)}^2
=(1-cost)/(1+cost)
=(1-1/√5)/(1+1/√5)
=(√5-1)/(1+√5)
=(√5-1)^2/4

ADの傾きは
tan(∠BAD)=tan(t/2)=(√5-1)/2
だから
ADの式は
y=xtan(∠BAD)=x(√5-1)/2…(AD)
だから
ADとBCの交点D(x,y)は
3-x=y=x(√5-1)/2
6-2x=x(√5-1)
(1+√5)x=6
4x=6(√5-1)
x=3(√5-1)/2
y=3(3-√5)/2

Dの座標は
(3(√5-1)/2,3(3-√5)/2)

∠Aの外角は
180°-∠A=180°-∠BAC=π-t
だから
∠CAE=(π-t)/2
だから
∠BAE=∠BAC+∠CAE=t+(π-t)/2=(t+π)/2
AEの式は
y=xtan{(t+π)/2}
y=xsin{(t+π)/2}/cos{(t+π)/2}
y=-xcos(t/2)/sin(t/2)
y=-x/tan(t/2)
↓tan(t/2)=(√5-1)/2だから
y=2x/(1-√5)
y=-x(1+√5)/2…(AE)
だから
AEとBCの延長との交点E(x,y)は
3-x=y=-x(1+√5)/2
3-x=-x(1+√5)/2
6-2x=-x(1+√5)
(1-√5)x=6
4x=-6(1+√5)
x=-3(1+√5)/2
y=3(3+√5)/2

Eの座標は　
(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)

DEの中点をＯとする時,
Ｏ
=(D+E)/2
={(3(√5-1)/2,3(3-√5)/2)+(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)}/2
=({3(√5-1)/2-3(1+√5)/2}/2,{3(3-√5)/2+3(3+√5)/2}/2)
=(-3/2,9/2)
だから
Ｏの座標は
(-3/2,9/2)
である。
(1)
|ＯB||ＯC|
=|B-Ｏ||C-Ｏ|
=|(3,0)-(-3/2,9/2)||(1,2)-(-3/2,9/2)|
=|(3+3/2,-9/2)||(1+3/2,2-9/2)|
=|(9/2,-9/2)||(5/2,-5/2)|
=(9/2)(5/2)|(1,-1)|^2
=(45/4)*2
=45/2

|ＯD|^2
=|D-Ｏ|^2
=|(3(√5-1)/2,3(3-√5)/2)-(-3/2,9/2)|^2
=|(3/2){(√5-1,3-√5)-(-1,3)}|^2
=|(3/2)(√5,-√5)|^2
=|(3/2)(√5)(1,-1)|^2
=(9/4)*5|(1,-1)|^2
=(45/4)*2
=45/2
=|ＯB||ＯC|
∴
|ＯB||ＯC|=|ＯD|^2

(2)

|ＯB|:|ＯC|
=|B-Ｏ||C-Ｏ|
=|(3,0)-(-3/2,9/2)|:|(1,2)-(-3/2,9/2)|
=|(3+3/2,-9/2)|:|(1+3/2,2-9/2)|
=|(9/2,-9/2)|:|(5/2,-5/2)|
=(9/2)|(1,-1)|:(5/2)|(1,-1)|
=(9/2)√2:(5/2)√2
=9:5

|AB|^2:|AC|^2
=|B-A|^2:|C-A|^2
=|(3,0)|^2:|(1,2)|^2
=3^2:1^2+2^2
=9:5
=|ＯB|:|ＯC|
∴
|ＯB|:|ＯC|=|AB|^2:|AC|^2