中3 数学 相似

質問

解説が一言少ない参考書にこのような
問題がありました

図は添付しておきました
ＤE平行ＢＣ、△ADE=2×△BCDのとき
△ADEと△ABCの面積の比を求めなさい

考え方　AD=ｘｃｍとすると、△ADE=2×△BCDより、
　　　　（x/10）²△ABC=2×（10-x/10）△ABC
　　　　※（10-x/10）には（）はありません、区別させるために（）をつけました

ちなみに答えは
（4-2√3）:1　だ、そうです

僕はこの（x/10）²△ABC=2×（10-x/10）△ABC
が全く理解出来ません・・・

分かる方ご回答お願いします。

回答No.4

noname#227255

ANo.3の別解です。

△ABCにおいて、BC=aとし、これを底辺としたときの高さをbとすると、DE平行BCであり△ABCと△ADEは2角が同位角でそれぞれ等しく相似であるから、△ADEにおいて、DE=ax、これを底辺としたときの高さをbxと表すことができます。
△ADEの面積はax*bx/2、△BCDの面積はa*(b-bx)/2
△ADE=2*△BCDであるから、abx^2/2=ab(1-x)
これから、x^2+2x-2=0(ab≠0)
さらに式を変形して、(x+1)^2-3=0→(x+1)^2=3→x+1=√3→x=√3-1(＞0)
ここで、x+1=-√3とすると、x=-1-√3(＜0)となって不適
△ADEは、底辺と高さが△ABCのそれぞれx倍であるから、面積はx^2倍になり、
△ABCの面積を1としたときの△ADEの面積は、x^2=(√3-1)^2=4-2√3
よって、答えは(4-2√3):1

なお、この解法では、解の公式と分母の有理化を必要としません。（中3数学の範囲外では？）

お礼

ご回答ありがとうございました

回答No.3

noname#227255

たとえ模範解答通りではなかったとしても（模範解答が理解できなかったとしても）、自分のやりやすいようにやればいいというのが持論です。（難しく考える必要はないということです。）
なお、この問題では、AB=10cmは全く関係ありません。

△ADEにおいて、DE=aとし、これを底辺としたときの高さをbとすると、DE平行BCであり△ADEと△ABCは2角が同位角でそれぞれ等しく相似であるから、△ABCにおいて、BC=ax、これを底辺としたときの高さをbxと表すことができます。
△ADEの面積はab/2、△BCDの面積はax(bx-b)/2
△ADE=2*△BCDであるから、ab/2=abx(x-1)
これから、2x^2-2x-1=0(ab≠0)
解の公式から、x=(1+√3)/2(＞0)→x^2=(2+√3)/2
△ADEの面積を1としたときに、△ABCの面積はx^2=(2+√3)/2になるので（底辺と高さがそれぞれx倍であるから、面積はx^2倍になるので）、△ABCの面積を1としたときの△ADEの面積は、
1/x^2=2/(2+√3)=4-2√3（分母の有理化）
よって、答えは(4-2√3):1

お礼

ご回答ありがとうございました

回答No.2

kdmsn35

既に、詳しい回答を　jcpmutura 　さんが、アップされていましたね。
私なりの回答を考えてみましたので書いておきます。
ご参考までに。
-----------------------------------------------------------------------------------------
: 相似な図形では、面積比は、相似比の２乗になる。 :
:　例えば、 相似比が、a:b の時、面積比は、(aの２乗):(bの２乗)になる。:
------------------------------------------------------------------------------------------
：等高三角形（高さが等しい三角形）の面積比は、底辺の比になる。　　　　：
--------------------------------------------------------------------------------------------
この２つを使います。

問題を解く手順は、３ステップです。

まず、（１）△ADEの面積を△ABCで表す。
次に、（２）△BCDの面積を△ABCで表す。
そして（３）問題の条件である、△ADE=2×△BCD に、（１）、（２）を代入すれば

　　　　　（x/10）²△ABC=2×{(10-x)/10}△ABC　の式になるはずです。

まず、（１）△ADEの面積を△ABCで表してみましょう。
　　　　　　-----------------------------------------------------
ＤE平行ＢＣだから、△ADEと△ABCは、相似で、AD:AB=x:10 だから、相似比は、x:10 です。
したがって、　　　 △ADEと△ABCの面積比は、(xの２乗):(10の２乗)で、
　　　　　　　　　　△ADE：△ABC=(xの２乗):(10の２乗) になります。
よって、　　　　　 △ADE=（x/10）²△ABC となります。

次に、（２）△BCDの面積を△ABCで表してみましょう。
--------------------------------------------------------
△BCDと△ABCにおいて、DB,AB を底辺と考えると、二つの三角形の高さは等しいから、
△BCDと△ABCの面積比は、底辺の比(DB:AB)になります。
よって、△BCD：△ABC＝DB:AB
　　　　　　　　　　＝(10-x):10 となり
よって、△BCD＝{(10-x)/10}△ABC となります。

（１）、（２）を（３）に代入すれば、
　----------------------------------
　　　　　　　　　　（x/10）²△ABC=2×{(10-x)/10}△ABC　になります。

最後に、両辺の△ABCを約分して、（x/10）²=2×（10-x/10）となり、この２次方程式を解いて、Xを求め、
△ADEと△ABCの面積比は、(xの２乗):(10の２乗)に代入すればよいですね。

お礼

お礼が遅くなりすみません
おかげで、解く事ができました
ご回答ありがとうございました

回答No.1

jcpmutura

DE/平行/BC
で同位角が等しいから
∠ADE=∠ABC
∠Aは共通だから∠DAE=∠BAC
2角が等しいから
△ADEと△ABCは相似だから
|AD|:|AB|=|DE|:|BC|
|AD|=x,|AB|=10だから
|DE|:|BC|=x:10
|DE|/|BC|=x/10…(1)

AからBCへの垂直点をF
AFとDEの交点をG
とすると
∠AGD=∠AFB=90°
∠ADG=∠ADE=∠ABC=∠ABF
∠Aは共通だから∠DAG=∠BAF
3角が等しいから
△ADGと△ABFは相似だから
|AG|:|AF|=|AD|:|AB|=x:10
|AG|/|AF|=x/10…(2)

GはAからDEへの垂直点となるから
|AG|は△ADEの底辺を|DE|とした時の高さだから
△ADEの面積は
|△ADE|=|DE|*|AG|/2
|AF|は△ABCの底辺を|BC|とした時の高さだから
△ABCの面積は
|△ABC|=|BC|*|AF|/2

|△ADE|/|△ABC|
=|DE|*|AG|/2/(|BC|*|AF|/2)
=|DE|*|AG|/(|BC|*|AF|)
=(|DE|/|BC|)*(|AG|/|AF|)
↓(1),(2)から
=(x/10)^2
∴
|△ADE|=(x/10)^2|△ABC|…(3)

△BCDの底辺を|BC|とした時の高さは|FG|だから
△BCDの面積は
|△BCD|=|BC|*|FG|/2

|△BCD|/|△ABC|
=|BC|*|FG|/2/(|BC|*|AF|/2)
=|FG|/|AF|
↓|FG|=|AF|-|AG|だから
=(|AF|-|AG|)/|AF|
=1-(|AG|/|AF|)
↓(2)から
=1-(x/10)
=(10-x)/10
∴
|△BCD|={(10-x)/10}|△ABC|…(4)

|△ADE|=2×|△BCD|
と(3),(4)より、
|△ADE|=(x/10)^2|△ABC|=2|△BCD|=2×{(10-x)/10}|△ABC|
(x/10)^2|△ABC|=2×{(10-x)/10}|△ABC|

※「10-x/10」と書くと(-)より(/)が優先され
「10-(x/10)」となるので「10-x/10」ではなく
「(10-x)/10」と書きます

(x/10)^2=2×{(10-x)/10}
↓両辺に100をかけると
x^2=20(10-x)=200-20x
↓両辺に20x+100を加えると
x^2+20x+100=300
(x+10)^2=300
↓両辺を1/2乗するとx+10>0だから
x+10=10√3
↓両辺から10を引くと
x=(10√3)-10
↓両辺を2乗すると
x^2=400-200√3
↓両辺を100で割ると
x^2/100=4-2√3
これを(3)に代入すると
|△ADE|=(4-2√3)|△ABC|
|△ADE|/|△ABC|=4-2√3
∴
|△ADE|:|△ABC|=4-2√3:1

お礼

ご回答ありがとうございました