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基本中学範囲の数学の問題で、解けません！(´；ω；

基本の中学範囲の問題なのですが、ひらめきません。助けてください。 問題は 下図は　AB＝６　BC＝８　AC=10　の三角形である。三角形ABCに円が内接していて、せんぶんDE（Dは辺AB上、Eは辺AC上）と円は接しているとする。DEとBEが平行であるとき、三角形ADEの面積を求めよ、です。　 　 図を添付しておきました　わかりづらくてすみません。

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  • 回答No.3

>DEとBCが平行であるとき とする。 これはAB:BC:CA=6:8:10=3:4:5 なので∠ABC=90°というにはすぐわかりますか。 理由：AB^2+BC^2=6^2+8^2=100＝10＾2＝AC^2 よってピタゴラスの定理を満たしているので∠ABC=90° これを使って一発で解く方法もあるでしょうが 中学数学の範囲で考えます。 円とBC,CA,ABとの接点をF,G,Hとすると AH=AG,BH=BF,CF=CGは解りますか。これらをp,q,rすなわち AH=AG=p BH=BF=q CF=CG=r とおくと AB=p+q=6 (1) BC=q+r=8 (2) AC=p+r=10 (3) (1)+(2)+(3)を作ると 2p+2q+2r=24 よって p+q+r=12 (4) (4)-(1)から　　r=6 (4)-(2)から　　p=4 (4)-(3)から　　q=2 円の中心をOとすると OF,OHはBC,ABに直角、最初に示したように∠ABCも直角、したがって∠HOFも直角 四角形OHBFは一辺がq=2の正方形でOH//BC//DE、よって⊿ADE∽⊿ABC OからDEに下した垂線の足をKとすると四角形OKDHも一辺が2の正方形 ゆえにBH=HD=2、AD=6-2-2＝2 ⊿ADEは⊿ABCと相似であるので AD/AB=DE/BC DE=BC*AD/AB=8*2/6=8/3 ⊿ADEは⊿ABCと相似であるので ∠ADE=90° よって ⊿ADEの面積＝2*（8/3）/2＝8/3

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。回答者皆さんがとてもいい返答をしていたので、誰を選ぶか迷いましたが、細かく証明を書いてくださった8765087さんをベストアンサーに選ばせていただきました。　ありがとうございます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

回答ＮＯ1さんので合っていますし王道だと思いますが、今回の問題の場合は他にもやり方があるので参考までに。 ＮＯ1さんと同様、DEとBEが平行ではなくDEとBCが平行だと仮定します。 各辺の長さがそれぞれ3、4、5の直角三角形の内接円の半径は1と決まっています。同じ比（3:4:5になるもの）で各辺の長さが〇倍になった場合、内接円の半径も〇倍になっていきます。よって、今回は6:8:10で各辺の長さが2倍なので半径も2倍＝2です。 また、面積の出し方もADの長さがAB－2（半径）×2＝2であり、三角形の面積を出す時は2で割るので相殺され、底辺DEの長さの数字がそのまま△ADEの面積となります。 AB：AD＝BC：DEなので、そのまま数字をあてはめ、わからない所（求める所＝DEの長さ）には文字を置きます。 すると、6：2＝8：ｘ　→　6ｘ＝16　→　ｘ＝16/6　→　ｘ＝8/3と出てきます。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます！　３４５の三角形の内接円半径は１とはしらなかったです。回答よりも一番の収穫かもしれません。ありがとうございました

  • 回答No.1
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)

>DEとBEが平行であるとき これは 「DEとBCが平行であるとき」 の間違いですね？ そうであるなら 円の半径をrとすると、円外から円に引いた２本の接線の長さは等しいから AC=10 　=AE+CE=(AB-r)+(BC-r)=(6-r)+(8-r)=14-2r 　2r=14-10=4 　∴r=2 △ADE∽△ABCなので面積比は相似比の２乗に比例するから 　△ADE：△ABC=AD^2：AB^2 　△ABC=6*8/2=24, AD=AB-2r=6-4=2, AB=6なので 　△ADE=24*(2/6)^2=24/9=8/3 …(答)

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質問者からのお礼

さっそく返答ありがとうございました！　わかりやすかったです。しかし回答３番さんがとｔってええええも細かく返答してくださったので、、、、３番さんをベストアンサーにしました　ありがとうございました！

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