微分積分

質問

xy平面内の y=x^2+1 のグラフの 0 ≤ x ≤ a (a > 0)の部分をx軸について回転してできる曲面をＳとする
（１）Ｓの面積を求めよ
（２）平面 x=0と平面 x=aと曲面Ｓで囲まれる領域の体積を求めよ。さらに、その領域に均一な密度の物体があるときの重心座標を求めよ

この問題がわかりません　教えてください
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回答No.2

info222_

(1)
y=1+x^2, y'=2x
S=2π∫[0,a] y√(1+y'^2)dx
=2π∫[0,a] (1+x^2)√(1+4x^2)dx
=2π∫[0,a] (1+x^2)(1+4x^2)^(1/2)dx
=2π[(15/64)sinh^(-1)(2x)+(1/16)x(4x^2+1)^(3/2)+(15/32)x(4x^2+1)^(1/2)][0,a]
=(15π/32)sinh^(-1)(2a)+(aπ/16)(8a^2+17)√(1+4a^2)

(2)
体積vは
V=π∫[0,a] (1+x^2)^2 dx
=π[(1/5)x^5+(2/3)x^3+x][0,a]
=πa(15+10a^2+3a^4)/15
質量Mは一定密度をρとすると
M=ρV=ρπa(15+10a^2+3a^4)/15
一次モーメントM1は
M1=πρ∫[0,a] x(1+x^2)^2 dx
=πρ[(1/6)(1+x^2)^3][0,a]
=πρ(a^2)(3+3a^2+a^4)/6

重心Gの座標を(xg,0)とすると
xg=M1/M
=(5/2)a(a^4+3a^2+3)/(3a^4+10a^2+15)

回答No.1

uen_sap

こういう問いかけは不可！

典型的な微積の基礎問題です。
たぶん教科書には回答があるだろうと思います。

まずは、自分はどうやった、これを記載して下さい。
そこから学習は始まる。