曲面積 積分

質問

(1)曲面z^2=4axが柱面y^2=ax-x^2によって切り取られる部分の曲面積(a>0)

(2)曲面x^2+y^2=2zの2平面z=0,z=1の間にある曲面積
(ヒント；極座標変換を使う)

(3)柱面x^2+y^2=axによって切り取られる球面x^2+y^2+z^2=a^2の部分の曲面積（a>0)

(4)2つの円柱x^2+z^2=a^2,y^2+z^2=a^2の共通部分の曲面積(a>0)
(ヒント；S=16S1として0≦y≦x≦aの領域の曲面積S1を求める)

この問題をといてください、お願いします。
積分範囲の出し方も詳しく説明してくれれば幸いです。

回答No.5

info222_

No.2～4です。

続いて(3)

柱面x^2+y^2=axによって切り取られる球面x^2+y^2+z^2=a^2の部分の曲面積S（a>0)

対称性より
0≦y≦0, z≧0の部分の表面積S1とすると
S=4S1
=4∫∫[D] √(1+(z_x)^2+(z_y)^2) dxdy
　D={(x,y)|(x-(a/2)^2+y^2≦(a/2)^2, y≧0}
　領域D(z≧0)で z=√(a^2-x^2-y^2)
　z_x=-x/√(a^2-x^2-y^2), z_y=-y/√(a^2-x^2-y^2)
　√(1+(z_x)^2+(z_y)^2)=a/√(a^2-x^2-y^2)

S=4∫[0,a] dx∫[0,√(ax-x^2)] a/√(a^2-x^2-y^2) dy
=4a∫[0,a] ([sin^-1(y/(a^2-x^2)^(1/2)][y:0,√(ax-x^2)])dx
=4a∫[0,a] sin^-1((x/(x+a))^(1/2))dx
= …　(途中計算省略)
=2(π-2)a^2　…(答)

回答No.4

info222_

No.2～3です。

続いて(4)
2つの円柱x^2+z^2=a^2,y^2+z^2=a^2の共通部分の曲面積S(a>0)

対称性より
S=16S1
S1=∫∫[D] √(1+(z_x)^2+(z_y)^2) dxdy
　D={(x,y)|0≦y≦x≦a}　(z≧0)
領域Dでは
　z=√(a^2-x^2)
　z_x=-x/√(a^2-x^2), z_y=0

S1=∫∫[D] √(1+(x^2/(a^2-x^2))) dxdy
　=∫∫[D] a/√(a^2-x^2) dxdy
　=∫[0,a] dx∫[0,x] a/√(a^2-x^2) dy
　=∫[0,a] ax/√(a^2-x^2) dx
　=a[-(a^2-x^2)^(1/2)][0,a]
　=a^2
∴S=16S1=16a^2 …(答)

回答No.3

info222_

No.1です。

続いて
(2)
曲面x^2+y^2=2zの2平面z=0,z=1の間にある曲面積S

z=(x^2+y^2)/2
z_x=x, z_y=y
√(1+(z_x)^2+(z_y)^2)=√(1+x^2+y^2)

S=∫∫[D] √(1+x^2+y^2) dxdy, D={(x,y)| x^2+y^2≦2}
曲面の対称性より
S=4∫∫[D1] √(1+x^2+y^2) dxdy,
　D1={(x,y)| x^2+y^2≦2, x≧0, y≧0}
x=r cos(t), y=r sin(t) (0≦t≦π/2, 0≦r≦√2)とおいて置換積分
　D1⇒E={(r,t)|0≦t≦π/2, 0≦r≦√2}
S=4∫[0,π/2] dt∫[0,√2] √(1+r^2) rdr
　=2π[(1/3) (1+r^2)^(3/2)] [0,√2]
　=(2π/3)*3^(3/2)
　=2π√3 …(答)

回答No.2

info222_

まず
(1)のみ

曲面z^2=4axが柱面y^2=ax-x^2によって切り取られる部分の曲面積S(a>0)

曲面のz≧0の部分の方程式
　z=2√(ax)

　z_x=√(a/x), z_y=0
　√(1+
曲面の対称性より
S=4∫∫[D] √(1+(z_x)^2) dxdy,
　D={(x,y)|(x-(a/2))^2+y^2≦(a/2)^2, x≧0, y≧0}
S=4∫∫[D] (1+(a/x))^(1/2) dxdy
=4∫[0, a] dx ∫[0, √(ax-x^2)] (1+(a/x))^(1/2) dy
=4∫[0, a] (1+(a/x))^(1/2)*√(ax-x^2) dx
=4∫[0, a] (a^2-x^2)^(1/2) dx
x=a sin（ｔ）(0≦t≦π/2)とおいて置換積分
=4(a^2)∫[0,π/2] cos^2(t) dt
=2(a^2)∫[0,π/2] (1+cos(2t) dt
=2(a^2)∫[0,π/2] dt
=πa^2 …(答)

回答No.1

transcendental

とりあえず（３）のみを解きます。
（３）
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a＾２　より、
２ｘ＋２ｚ・∂ｚ/∂ｘ＝０、２ｙ＋２ｚ・∂ｚ/∂ｙ＝０．これから、
１＋（∂ｚ/∂ｘ）＾２＋（∂ｚ/∂ｙ）＾２＝a＾２/（a＾２－ｘ＾２－ｙ＾２）
面積Sは、
S＝４∫∫[x^2+y^2≦ax]aｄｘｄｙ/√（a＾２－ｘ＾２－ｙ＾２）
＝４∫[0 to pi/2]ｄθ∫[0 to acosθ]aｒｄｒ/√（a＾２－ｒ＾２）
＝２（πー２）a^2
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※打ちミスはご容赦ください。