曲面積

質問

曲面　z=x^2+y^2 の円柱面　x^2+y^2=a^2 の内部にある部分の曲面積

参考書によると、π/6[{√(1+4a^2)^3}-1] です。

特に、ｘとｙの範囲がわかりません。

詳しい解説お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

>ｘとｙの範囲がわかりません。

>x^2+y^2=a^2 の内部にある部分
より
「x^2+y^2≦a^2」
です。
積分領域で書けば
D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2}
ANo.1とは別の公式を使えば
z=f(x,y)=x^2+y^2
V=∬[D]√(1+fx^2+fy^2)dxdy
=∬[D]√(1+4x^2+4y^2)dxdy
累次積分に直せば
=4∫[0,a]dx∫[0,√(a^2-x^2)]√(1+4x^2+4y^2)dy
または
=4∫[0,a]dy∫[0,√(a^2-y^2)]√(1+4x^2+4y^2)dx
と表せます・
極座標(r,θ)：x=rcosθ,y=rsinθを使って置換積分するなら
V=∬[0≦θ≦2π、0≦r≦a]√(1+4r^2) rdrdθ
=∫[0,2π]dθ∫[0,a] r(1+4r^2)^(1/2) dr　...(※)
以上のような累次積分の範囲に治せます。
積分を実行すると
=2π∫[0,a] r(1+4r^2)^(1/2) dr
=2π[(1/12)(1+4r^2)^(3/2)][0,a]
=(π/6){(1+4a^2)^(3/2)-1}
=(π/6)[{√(1+4a^2)^3} -1]
とANo.1と同じ結果となります。

お礼

返信がおそくなってすみません。わかりました。ありがとうございます。

回答No.1

info22_

x=rcos(t), y=rsin(t)
z=x^2+y^2=r^2
dz=2rdr
dr/dz=1/(2r)
z軸の周りの回転体の表面積の公式より
S=2π∫[0,a^2]r√(1+(dr/dz)^2)dz
=2π∫[0,a] r√(1+(1/(2r)^2))2rdr
=4π∫[0,a] r√(r^2+(1/4))dr
=4π∫[0,a] r(r^2+(1/4))^(1/2)dr
=4π[(1/3)(r^2+(1/4))^(3/2)][0,a]
=(4π/3){(a^2+(1/4))^(3/2)-(1/8)}
=(π/6)[{(√(4a^2+1))^3}-1]