一辺の長さ２０ｍｍ 正五角形の角度について

質問

一辺の長さ２０ｍｍの正五角形を書くための角度の考え方について教えてください。

小学３年生に分かりやすい説明方法を教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.4

noname#215361

ANo.3の回答者です。

まだ締め切られていないので、正五角形の1つの内角の大きさの求め方について、色々と考えてみます。
ANo.3では、正五角形が円に内接することから、中心角を、
360°÷5=72°
として、大きさの等しい5つの二等辺三角形を考えました。
この二等辺三角形の残りの2つの角の和は、
180°-72°=108°
これが、正五角形の1つの内角の大きさになります。
この理由は、正五角形のそれぞれの内角では、大きさの等しい2つの二等辺三角形が隣り合っているからです。
以上を1つの式にまとめると、
180°-360°÷5=108°―(1)
また、正五角形が、大きさの等しい5つの二等辺三角形に分けられることから、5つの二等辺三角形の内角の和は、
180°×5=900°
これから、中心に集まっている360°を引くと、正五角形の内角の和が求まります。
さらに、これを5で割ると、正五角形の1つの内角の大きさが求まります。
よって、正五角形の1つの内角の大きさは、
（180°×5-360°）÷5=180°×5÷5-360°÷5=180°-360°÷5=108°―(2)
これは、(1)とまったく同じ形になります。
また、正五角形が円に内接することを考えましたが、このことを知らなくても、同じように求められます。
正五角形の中に1点（円の中心でなくていい）を取ります。
そして、この点と正五角形のそれぞれの頂点を結ぶと、やはり5つの三角形が出来ます。
同様に、5つの三角形の内角の和は、
180°×5=900°
これから、取った点の回りに集まっている360°を引くと、正五角形の内角の和が求まります。
さらに、正五角形の1つの内角の大きさを求めても、(2)と同様になります。
また、(1)または(2)における、正五角形の内角の和を求める式を変形すると、
180°×5-360°=180°×5-180°×2=180°×（5-2）=180°×3＝540°
これは、正五角形が三角形3つの集まりであることを意味します。
以上から、正n角形の場合の1つの内角の大きさは、、(1)または(2)において5をnに置き換えればよく、
180°-360°÷n―(3)
になります。
(3)において、n=4（正方形の場合）とすると、
180°-360°÷4=180°-90°=90°
になり、正しいことが分かります。

回答No.3

noname#215361

正三角形・正方形・正五角形・正六角形などは、すべて円に内接するということを覚えておくといいと思います。
これを言い換えると、問題の正五角形であれば、5つの頂点がすべて同じ円周上になるような円があることになります。
一辺の長さ20mmなので、少し大きめに半径50mmの円を描きます。
この円の中心から円周上に直線（厳密には線分）を1本引きます。
360°÷5=72°なので、この円の中心から円周上に、中心角が72°になるように続けて4本の直線を引き、5本の直線と円周がぶつかった5点を順に直線で結ぶと正五角形が出来上がります。
（円の中に出来上がった5つの三角形は、すべて同じ大きさの二等辺三角形です。）
後は、、三角定規2枚を用いて出来上がった正五角形の辺のうちの一辺を平行移動させて、1辺の長さ20mmになるように調整します。
1辺の長さ20mmが1箇所決まったら、コンパスで20mm測り取り、円の中心から円周上に引いた残りの3本の直線上に、1辺の長さ20mmになるよう順に点を取ってこれらを結ぶと、目的の正五角形が出来上がります。
（1辺の長さ20mmが1箇所決まったら、その場合の円を描いて考えても同様です。）

お礼

ご丁寧で分かりやすいご回答をどうもありがとうございます。早速
子供と一緒にしてみます。

回答No.2

info222_

ANo.1の別解

正５角形の１つの頂点から引いた２本の対角線によって
正５角形は３個の三角形に分けられます。
三角形の内角の和は180度なので3個分で
　180+180+180=540度
となります。これは正5角形の内角の総和ですから、
正5角形の1つの角は、頂点の数=5で割って
　540÷5=108度
となります。

1つの20mmの辺の端から、左回りに分度器で
108度の角度で20mmの辺を書き、その辺の端から、
さらに左回りに分度器で108度の角度で20mmの辺を
書き加えます。最初の辺に4回辺を書き加えると
最初の辺の右端につながって正5角形が完成します。

お礼

ご丁寧な回答をどうもありがとうございます！

回答No.1

CC_T

辺の長さは関係ないですね。

ぐるっと１周まわって元の場所にもどってくるわけですから、外角の和は360度です。
外角の和が360度ってのは３角形でも４角形でも５角形でも同じです。

５角形は５つ角があるので、360÷５＝72　１つの角の外角は72度。
内角は180-72＝108　で、108度ですね。

図を描いて説明すればよいと思います。

お礼

分かりやすいご説明をどうもありがとうございます。