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力学の問題です

図1のように質量M半径Rの密度分布が一様で厚みを無視できる円板が 水平に置かれた中心軸(円板に垂直な方向)のまわりに自由に回転できるように設置されている。 この円板の縁には、質量を無視でき伸長性のない糸がたるみなく巻かれていて 糸の先には質量mの質点が結び付けられている。糸と円板の間にはすべりは生じないものとし 初期の状態では図1(a)に示すように円板は静止しており、糸にたるみがなくかつ糸が鉛直方向 に沿うように質点は台によって支えられている。 次に図1(b)のように円板を回転させないように質点を距離hだけ鉛直上向きに持ち上げる。 その後図1(c)のように質点を支えていた台を瞬時に取り除く。 質点が落下してちょうど糸のたるみがなくなり、かつ張力が生じる直前の円板の中心軸まわりの 角速度をω0、質点の鉛直下向きの速さv0とする。 糸に張力が生じて円板が回転を始めた直後の系を考える。このとき糸にたるみは生じず、 質点は鉛直下向きに運動した。円板が回転を始めた直後の円板の中心軸まわりの角速度ω1、 質点の鉛直下向きの速さv1を求めよ。 という問題なのですが、どういう方針で解けばよいのでしょうか。 円板の回転の方程式と質点の運動方程式を張力Tとして立てたのですが そこからv1ω1を求める手段が分かりません。 あとv1=Rω1 としてよいのでしょうか? 分かる方宜しくお願いします。

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  • 物理学
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  • gohtraw
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私の先ほどの回答はエネルギー保存則を使っているので、 エネルギー損失はゼロになりますね。 直前、直後などの用語や、v0、ω0との絡みが気になっていた のですが、やはりそうでしたか。 だとすると運動量でいくのかなと。 円盤の角運動量の変化は糸の張力に由来するモーメントに 等しいので円盤の慣性モーメントを I、張力をTとして I・dω/dt=T・R ・・・(1) 質点の運動方程式より mg-T=m・dv/dt dv/dt=R・dω/dt なので mg-T=mR・dω/dt ・・・(2) ω0は糸のたるみがなくなる直前の角速度なのでゼロと思われるので dω/dt=ω1 ・・・(3) この辺りから進められないでしょうか?

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質問者からのお礼

再度回答ありがとうございました! gohtrawさんの方針を参考にして、自分でも少し考えて dv/dt=v1-v0 v1=Rω1 として あと、質点の運動方程式で解いていくとmgの次元が合わなく なったので、運動量変化として張力Tを瞬間的な撃力(?)として 考えて mv1-mv0=-Tとして解きました。 本当にありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • gohtraw
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「直前」とか「直後」という言葉が微妙な感じがして、しかも v0やω0がどう絡むのかちょっと気になりますが、 方針としては質点が失った位置エネルギーが質点の 運動エネルギーと円盤の回転エネルギーに変わると いうことでいいのではないでしょうか? 質点が高さhだけ落下したのだから位置エネルギーの 減少はmgh 質点の運動エネルギーはmv1^2/2 円盤の回転エネルギーはIω1^2/2 (I は円盤の慣性モーメント) mgh=(mv1^2+Iω1^2)/2 糸はたるんだり伸びたりしないのでv1=Rω1

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。 後出しで申し訳ないのですが、この前の設問で v0とω0とその時の系の運動エネルギーK0を求めています。 また、この問題でも運動エネルギーK1を求めるのですが、 この次の設問で円板が回転を始める前後の質点と円板からなる系の運動エネルギー損失の割合(K0-K1)/K0を求めるのですが、 K1=K0=mghとなり損失がないように思うのですが、 K0とK1で何か違いってありますか?

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