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力学の問題：円板と質点の運動
- 力学の問題で、円板と質点の運動について考えます。
- 円板を回転させないように質点を持ち上げ、その後質点を支える台を取り除くと、円板は回転を始めます。
- 円板の回転と質点の運動方程式を立て、鉛直下向きの速度v1と円板の角速度ω1を求める問題です。
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私の先ほどの回答はエネルギー保存則を使っているので、 エネルギー損失はゼロになりますね。 直前、直後などの用語や、ｖ０、ω０との絡みが気になっていた のですが、やはりそうでしたか。 だとすると運動量でいくのかなと。 円盤の角運動量の変化は糸の張力に由来するモーメントに 等しいので円盤の慣性モーメントを Ｉ、張力をＴとして I・ｄω／ｄｔ＝T・R ・・・（１） 質点の運動方程式より ｍｇ－T＝ｍ・dv/dt ｄｖ／ｄｔ＝Ｒ・ｄω／ｄｔ なので ｍｇ－Ｔ＝ｍR・ｄω／ｄｔ ・・・（２） ω０は糸のたるみがなくなる直前の角速度なのでゼロと思われるので ｄω／ｄｔ＝ω１ ・・・（３） この辺りから進められないでしょうか？
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- gohtraw
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「直前」とか「直後」という言葉が微妙な感じがして、しかも ｖ０やω０がどう絡むのかちょっと気になりますが、 方針としては質点が失った位置エネルギーが質点の 運動エネルギーと円盤の回転エネルギーに変わると いうことでいいのではないでしょうか？ 質点が高さｈだけ落下したのだから位置エネルギーの 減少はｍｇｈ 質点の運動エネルギーはｍｖ１＾２／２ 円盤の回転エネルギーはＩω１＾２／２ （Ｉ は円盤の慣性モーメント） ｍｇｈ＝（ｍｖ１＾２＋Ｉω１＾２）／２ 糸はたるんだり伸びたりしないのでｖ１＝Ｒω１
補足
回答ありがとうございます。 後出しで申し訳ないのですが、この前の設問で v0とω0とその時の系の運動エネルギーK0を求めています。 また、この問題でも運動エネルギーK1を求めるのですが、 この次の設問で円板が回転を始める前後の質点と円板からなる系の運動エネルギー損失の割合(K0-K1)/K0を求めるのですが、 K1=K0=mghとなり損失がないように思うのですが、 K0とK1で何か違いってありますか？
お礼
再度回答ありがとうございました！ gohtrawさんの方針を参考にして、自分でも少し考えて dv/dt=v1-v0 v1=Rω1 として あと、質点の運動方程式で解いていくとmgの次元が合わなく なったので、運動量変化として張力Tを瞬間的な撃力（？）として 考えて mv1-mv0=-Tとして解きました。 本当にありがとうございました。