地球の角速度、コリオリ力、遠心力などの力学問題

質問

こんばんは。
力学の問題が難しくて解けなくて困っています。

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【問題】
地球は自転しているので、地表にいる我々は回転系でものを見ていることになる。そこで地球の公転は無視し、地球は半径6400kmの真球として、その中心に原点を持ち、自転軸をZ軸にもつ回転系(K系)を考える。これとは別に観測者とともに地表に固定された座標軸(K’系)を図１のように考える。回転座標系における質点の運動方程式が一般に
m(d^2r/dt^2) = F - 2mω×dr/dt - mω×(ω×r) - m(dω/dt)×r
と書けることを用いて、以下の問いに答えよ。ただしrは質点の位置ベクトル、Fは質点に働く力、ωは角速度ベクトルを表すものとし、×はベクトル積を表すものとする。答えは有効数字２桁で答えよ。

(1)慣性系(K系)でみた地球の自転に対応する角速度ベクトルを求めよ。ただし、地球は24時間で１回辞典すると近似してよい。

(2)K’系のZ’軸は観測者位置で地表に対して垂直で外向きにとり、X’軸は経線に沿って赤道に向くようにとり、Y’軸はK’系が右手系になるように決めるものとする（図1）。この時、K’系でみた角速度ベクトルを求めよ。

(3)観測者は北緯30度(北極から測った角度60度)の所にいるとして、遠心力と重力の大きさの比を求めよ。

(4)K’系の原点においてX’軸の負の向きに速さ v = 10m/s で動く物体に働くコリオリ力をベクトルとして求めよ。

(5)前問の結果を用いて、北半球で生じる台風における風の向きについて考察せよ。

(6)地球の自転周期は10万年あたり１秒の長さで長くなっている。この結果生じる見かけの力と遠心力の比の大きさは(3)の観測者の位置でいくらか。

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長くなってしまってすみません…。
どなたかよろしくおねがいします。

回答No.1

hitokotonusi

この問題は(1)(2)の角速度ベクトルが書ければ、あとは代入するだけです。
ポイントは

座標変換でベクトルそのものは変わらず、成分表記だけが変わる。

という点です。

添付図に角速度ベクトルを赤で書きましたが、この赤い矢印自体は座標を変換しようがしまいが、そのままそこにあります。なので、この赤い矢印(角速度ベクトル)の成分をそれぞれの座標系で書けばいい。

従って慣性系KではZ軸方向を向いているのでZ成分のみで

ω(慣性系) = ( 0, 0, ω )

基底表示なら

ω(慣性系) = ω eZ　(eZはZ軸方向の基底ベクトル)

回転しているK'系では、X'軸から図のように角θ傾いているので

ω(回転系) = (-ωcosθ, 0, ωsinθ)

基底表示で

ω(回転系) = -ωcosθ eX' + ωsinθ eZ'　(eX', eZ'はそれぞれX'軸、Z'軸方向の基底ベクトル)

あとは代入して外積を計算し、数値を代入していくだけです。