力学の問題です。

質問

水平面を速度v0で転がってきた半径４a質量ｍの一様な円板が
高さaの水平な段差を、そのふちで接触を失わずに登った。
円板の中心をOとして、段差の縁を点Aとする。

AOが水平となす角をθとし、円板が点Aに接触した瞬間のθの値を
θhとする。

この時、円板と段差が常に接触したままであることから、
円板が段差から受ける力のうち、AO方向の分力である抗力Rが
常にR>0でなければならない。また円板が段差を登りきる為には
ω>0でなければならない。いずれもθの範囲はθh<θ≦π/2

以上のことから円板が接触を保ったまま段差を登る為にv0が満たすべき
条件を求めなさい。

並進運動の運動方程式と回転運動の回転方程式を立てて
それぞれの条件から求めようとしました。
mdv/dt=-Rcosθ
24ma^2dω/dt=-4amgcosθ
24ma^2は円板の点Aまわりの慣性モーメントです。

ここからの計算が分かりません。どうしたらいいんでしょうか。
運動方程式から解くものでもないような気がしてきました。
分かる方教えてください。宜しくお願いします。

回答No.5

matelin · ベストアンサー

>> 「AOに垂直にｘ軸、平行（重なる）ようにｙ軸をとると位置ベクトルは[0, 4a, 0]となるのですが、運動量の方がいまいち分かりません。」

答　⇒　申し訳ありません。あなたが指摘している部分にミスがありました。

あなたの設定した座標系でいうと、衝突直後の点Ｏの速度ベクトルは、（４ａω1，０，０）です。何故かと言うと、点Ｏは点Ａを中心とする円運動をしていて、その角速度が　ω1　なので、その速さＶは、　Ｖ＝４ａω1　となります。　回答Ｎｏ２の（３）では、その速さを　　ａω1　としてしまいました。ＡＯの距離　４ａ　を　ａ　と勘違いしたのが原因です。

ゆえに、Ａ点に関する質量中心の並進運動の角運動量は、　ｍ×４ａω1×４ａ　＝１６ｍａ＾２×ω1　になります。これにＯ点の回りの回転運動の角運動量　Ｉ1×ω1　 を足して、円板の角運動量は、　２４ｍａ＾２×ω1　。これが正しい値でした。

なお、ついでに言えば、衝突直後のＡ点に関する円板の角運動量は、　Ａ点の回りの円板の慣性モーメント　Ｉ2　を用いると、Ｉ2×ω１　です。この考え方で求めた方が簡単でしたね。

お礼

再度回答ありがとうございます。
私も何度も半径をaとして計算してたことがありますので、気になさらないでください。
すっきり解決しました。たしかに衝突直後のA点に関する角運動量はI2を用いると簡単にでますが、並進運動の角運動量と回転運動の角運動量とを求めて。。。。みたいな設問だとしっかり分かっていないとダメだと思うので、今回のように分けて計算できたのはとてもためになりました！

本当にありがとうございました。

回答No.4

matelin

以上の回答Ｎｏ１，２，３は、あなたが大学生である（大学レベルの力学を勉強している）ものと想定して書きましたが、それでよいのでしょうか?　お返事をお待ちしていますよ。

補足

詳しい回答ありがとうございました。
返事が遅くなって申し訳ありません。現在大学生です。
大方はなるほどと理解して読まさせていただきました。が、
一点だけ分からないところがあります。

円板が角Aに衝突した直後のAに関する角運動量の、質量中心の並進運動に関する角運動量についてです。
並進運動の角運動量はAから見た重心の位置ベクトルと運動量の外積であらわされますよね？
衝突直前はそこから3amv0が導けるのですが、直後に関してはどう導けばいいのでしょうか？
AOに垂直にｘ軸、平行（重なる）ようにｙ軸をとると位置ベクトルは[0, 4a, 0]となるのですが、運動量の方がいまいち分かりません。

何度も申し訳ありませんが、教えてください！宜しくお願いします。

回答No.3

matelin

回答Ｎｏ２への追加です。

◎　Ｎｏ２本文中の（４）について追加します。
この問題では円板の運動はＡの回りの回転運動だけなので、その運動エネルギーは、Ａ点の回りの慣性モーメントＩ2を用いて、　１/２×Ｉ2×ω＾２　で計算した方が簡単ですね。もちろんＮｏ２の（４）で求まるものと、同じものが出てきます。

◎　Ｎｏ２本文中の（５）について追加します。
円板がＡ点を中心とする円運動の角速度ωは、円板がＡに衝突した直後が最大で、その後θの増加に伴い単調に減少することが、容易に分かります。そのことを考えれば、円板に働く遠心力は円板がＡに衝突した直後が最大であるから、その時の抗力Ｒが０以上であれば、円板はＡ点から離れて飛び去ることはないことになりますね。

回答No.2

matelin

回答Ｎｏ１の最後に「いろいろ知っていないといけない」、と書きましたが、
その要点を以下の(1)から(5)の５点について補足しておきます。

(1)円板の中心Ｏ（円板の質量中心）を通り、円板に垂直な軸Ｌ１に関する、慣性モーメントＩ１は、
　　Ｉ１＝１/２×ｍ（４ａ）^２
　　　＝８ｍａ^２

(2)スタイナーの定理。　
任意の点を通り、上の軸Ｌ１に平行な軸Ｌ２に関する、慣性モーメントＩ２は、
　Ｉ２＝Ｉ１（上の(1)の値）＋ｍｈ^２　　（ｈは２つの軸の間の距離）
この定理を使うと、円板がＡに触れている時、そのＡを通り、円板に垂直な軸に関する、慣性モーメントは、
　１/２×ｍ（４ａ）^２＋ｍ（４ａ）^２
　　＝３/２×ｍ（４ａ）^２
　　＝２４ｍａ^２

(3)（剛体の角運動量）＝（質量中心の並進運動の角運動量）
　　　　　　　　　　　　　＋（質量中心の回りの回転運動の角運動量）
例えば、円板が角Ａに衝突する直前のＡ点に関する角運動量は、
　ｍｖ0×３ａ＋Ｉ１×（ｖ0/４ａ）
　＝５ｍａｖ0
円板が角Ａに衝突した直後のＡ点に関する角運動量は、その直後の角速度をω1とおくと
　ｍａω1×４ａ＋Ｉ１×ω1
　＝１２ｍａ^２×ω1

(4)（剛体の運動エネルギー）＝（質量中心の並進運動の運動エネルギー）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＋（質量中心の回りの回転運動の運動エネルギー）
例えば、円板が円運動している途中で、ｄθ/ｄｔ＝ωの時の、円板の運動エネルギーは
　１/２×ｍ（４ａω）＾２＋１/２×Ｉ1×ω＾２

(5)剛体の運動方程式は、質量中心の並進運動の運動方程式と、質量中心の回りの回転運動の運動方程式とに分けて、書き下すことができる。
円板の質量中心の並進運動の運動方程式をＡＯ方向と、ＡＯに垂直な方向とに分けて書くときの、ＡＯ方向の運動方程式は、質量中心の加速度のＡＯ方向成分は　４ａω＾２　なので、
　ｍ×４ａω＾２＝ｍｇｓｉｎθ―Ｒ

たくさんのヒントを書きました。このヒントを全部理解するだけでも大変でしょうが、それらが全部分かっていないと、この問題は解けないので、一つ一つを理解してください。

回答No.1

matelin

こんばんは。むつかしい問題に取り組んでいますね。あなたの書いた運動方程式ではこの問題は解けません。この問題は、次の(1)(2)(3)の順で考えていく必要があります。

(1)この円盤がＡ点に衝突すると、Ａから受ける撃力により、円盤の中心Ｏの運動が、水平な等速運動から、Ａ点を中心にして回転する運動に急変します。この急変の前後の関係をまずとらえる必要があります。Ａ点から受ける撃力Ｒについて、その力のＡ点の回りのモーメントは０ですから、また円盤が受ける重力の力積モーメントは時間が短いので無視して良いと考えられるので、この円盤のＡ点の回りの角運動量は撃力を受ける前後で保存する、と考えてよいでしょう。この角運動量保存から、撃力を受けた後に円盤がＡを中心とした円運動に入り始める時の角速度を求めることができます。

(2)次に円盤がＡを中心とする円運動に入ったとして、円盤の中心ＯがＡの真上まで上るだけの勢いがなければなりません。ＯがＡの真上まで来る途中で運動が止まり、その後引き返すことがあってはいけないですから、そうならないための条件が要ります。その円運動においては力学的エネルギーが保存されるので、それを利用して、上の条件を求めることができるでしょう。

(3)もう一つ忘れては行けないことは、その円運動中にあまり運動の勢いが強すぎると、円運動の遠心力が強く働くために、円盤がＡ点から飛び去る可能性があるので、そうならないための条件をつけておく必要があります。これにはＡを中心とした円運動の運動方程式を書き下して、そこに出てくるＡからの抗力Ｒが運動中に正であり続けるためには、どんな条件が必要かを考えればよいのです。

以上を組み合わせると、答に行きつきます。かなり色んなことを知ってないといけないので、大変ですが、頑張ってください。