直方体と質点の慣性モーメント

質問

問題<図は画像添付>
図のように質量Mの直方体（2a×2b×2c)の１辺（2c)を水平な軸に固定し、自由に回転できるようにした。直方体をつりあいの位置から角度θだけ傾けて、静かに放したときの直方体の運動について以下の問いに答えよ。ただし回転時の摩擦力、空気抵抗力は無視し、重力加速度をｇとする。また直方体は一様な密度の剛体とみなす。
（１）図の頂点Ａに質量mの質点を取り付けた。直方体だけのときと同じつりあいの位置となるように、図の頂点Ｂに質量m'の別の質点を取り付けたい。この質点の質量m'を求めよ。
（２）（１）の条件のとき、２つの質点を含む直方体全体の慣性モーメントI'（固定軸まわり）を求めよ。ただし、I'は直方体と各質点の慣性モーメントの和である。

（１）で２つの質点の運動方程式を立てて、直方体と質点の速度vが等しいことからv = 2√(a^2+b^2 ) ωとして運動方程式から導こうと思ったのですが、m'の運動方程式がm'dv/dt = m'gsinθとなりm'が消えてしまうのでm'が導けませんでした。
（２）で質点の慣性モーメントを求める際に質点の体積からdmを求めることになると思うのですが、質点の体積は１とかになるのでしょうか。dmをｘｙｚで表したいのですが・・・。

前問より直方体の回転運動方程式は４/３ m(a^2+b^2 ) dω/dt= -mgsinθということがわかっている。

どなたか解法がわかる方教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.4

hitokotonusi · ベストアンサー

腕の長さは平面上の点と直線の距離ですから、点から直線に垂線を降ろしてその垂線の長さを求めるだけです。
その際、添付図の三角形の相似を利用します。

添付図では角OAHと角COAが等しいので△OACと△AHOが相似。
問題図からOAの長さが2a、ACの長さが2b。

もっとも、ちょっと考えれば計算しなくても答えは出るのですけど。

慣性モーメントは#2で書いたように

>I(剛体)＝ΣI(質点) = Σi mi ri^2

を使えば計算できます。

I = Σi mi ri^2 = m1 r1^2 + m2 r2^2 + m3 r3^3 + ・・・・・

1をA点に追加した質点、2をB点に追加した質点とすれば、3以降の和が直方体の慣性モーメントで

I = m rA^2 + m' rB^2 + I(直方体)

I(直方体)は

>前問より直方体の回転運動方程式は４/３ m(a^2+b^2 ) dω/dt= -mgsinθということがわかっている。

から

I(直方体) = ４/３ m(a^2+b^2 )

と与えられている。

(∵ 回転の運動方程式 ： (慣性モーメント)×(角加速度)＝(力のモーメント) )

お礼

お礼が遅くなってしまいすみません。すごくわかりやすい回答をありがとうございます！すんなり理解することができました。ありがとうございました。m(_ _)m

回答No.3

hitokotonusi

＞θは使えるのでしょうか？

この問題では、θは直方体のみのときのつり合いの位置からの角度と定義していますから、(１）を解く際にはθは0です。
この場合のような剛体振り子では、重心の位置が回転中心の真下にある時がつり合いの位置ですから、図中に点線で書いてある対角線が鉛直方向になるところが釣り合いの位置になるので、これからa, bを使って腕の長さを計算します。

補足

すいません腕の長さの求め方がわからないので教えて頂けないでしょうか。あとdmはやはりxyzで表さないと計算できないですよね？どのようにしたら表すことができるのでしょうか。
すみませんがよろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi

どうも普通とは違う教え方がされているようなのですが，
以下の点を確認してください．

(1) 剛体のつりあい
A. 力のつりあい　(並進しない条件)
B. 力のモーメントのつりあい　(回転しないための条件)

この問題では一辺が固定されているので，Aの条件は固定位置に働く支持反力が必ずこの条件を満たすように働くので，Ｂの条件のみを考えればよい．

(２）力のモーメント
力のモーメントは，力の大きさと腕の長さのかけ算．
腕の長さは，回転中心から作用線までの距離．
作用線は，作用点を通り力の方向に引いた直線．

添付図では，上の青丸が回転中心，細い線が作用線なので，重力の大きさに青丸と細線の間の距離をかければ力のモーメントの大きさになります．
力のモーメントは大きさだけでなく回転方向に応じた符号も持っていますので，右回りか左回りかで符号を変えます．

このようにしてそれぞれの力に対して求めたモーメントの総和が0になることがつりあいの条件です．剛体に働く重力は，重心の位置にある質点に働く重力を考えればいいので，この問題の重力は，剛体の重心，A点，B点の3ヶ所に働くことになります．この三つの重力のうち，

＞直方体だけのときと同じつりあいの位置となるように

という条件を考えれば，剛体に働く重力が回転に寄与しないことがわかります．

(３）慣性モーメント
質点の慣性モーメントI(質点)は

(質量)×(回転中心からの距離)^2

で定義され，質量をm，回転中心からの距離をrとすれば

I(質点)＝ m r^2

剛体を質点の集合体と考えると，剛体の慣性モーメントI(剛体)は

I(剛体)＝ΣI(質点) = Σi mi ri^2
(mi, riはi番目の質点に関する量)

この質点を原子と考えれば剛体は連続体とみなしてよいので和は積分なり，密度をρとして

I(剛体)＝∫ρ(r) r^2 dV

微小体積dV中の質量をdmとするとdm = ρdVなので

I(剛体)＝∫r^2 dm

この最後の形の式をいきなり教えられているように見受けられますが，ようはmr^2をすべて足し合わせればいいだけなので，上の方の

＞I(剛体)＝ΣI(質点) = Σi mi ri^2

に戻って考え直してみてください．

補足

力のモーメントのつりあいのみで良いことはわかりました。腕の長さはどのように求めるのでしょうか？θは使えるのでしょうか？
dmをxyzで表さなければ積分計算はできないですよね？

図を交えてわかりやすく説明してくださりありがとうございます。まだわかってないようなのですみませんが引き続きよろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831

まず，この問題は静的なつり合いと慣性モーメントの基本に関するもので，回転の運動方程式へと発展する前段の基礎問題であることを理解して下さい。

したがって，（１）は運動方程式を立てる必要はなく，あえていうなら左辺がゼロの運動方程式すなわちつり合いの式を立てれば十分なのです。直方体のみと同じ位置で，軸まわりのmとm'による重力のモーメントのつり合い式を立てましょう。

質点の慣性モーメントですから，もともとの慣性モーメントの基本に立ち返って下さい。質点は体積が無視できる仮想物体なのですから，体積を持ちだすこと自体が誤りです。

剛体のつりあい，および慣性モーメントの基礎を学び直されることをお勧めします。ご質問内容を読む限り，その点が全く危うい感じですので，ひとまず直接具体的な解法には触れずお返ししたいと思います。

補足

習い始めで基本の理解が不十分なようです。重力のモーメントのつりあい式はmgsinθなどが一方向にかかるのでつりあい式になりますか。

体積が無視できるならばdmはxyzを使ってどのように表すことができますか。

理解が不十分だとは思いますがご指導の程よろしくお願い致します。